ブラウザよりも高速アクセス！数学の哲学と証明間の類似点
数学の哲学と証明は（ユニオンペディアに）共通で7ものを持っています: 命題、公理、真理、証明論、背理法、自然数、推論規則。
命題
命題（めいだい、proposition）とは、論理学において判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの。また数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題のこと。西周による訳語の一つ。 厳密な意味での命題の存在は、「意味」の存在と同様に、疑問を投げかける哲学者もいる。また、「意味」の概念が許容される場合にあっても、その本質は何であるかということにはなお議論のあるところである。古い文献では、語の集まりあるいはその語の集まりの表す「意味」という意味で命題という術語を用いているかどうかということが、つねに十分に明らかにされているわけではなかった。 現在では、論争や存在論的な含みを持つことを避けるため、ある解釈の下で（真か偽のいずれであるかという）真理の担い手となる記号列自体について述べる時は、「命題」という代わりに「文 (sentence)」という術語を用いる。ストローソンは「言明 ("statement")」 という術語を用いることを提唱した。.
公理
公理（こうり、axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された（形式的な）言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明（絶対的）な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.
真理
真理（しんり、ἀλήθεια、veritas、truth、vérité、Wahrheit）とは、確実な根拠によって本当であると認められたこと。ありのまま誤りなく認識されたことのあり方。真実とも。 真理は、現実や事実と異なり、妨害・障害としての虚偽・誤謬を対義語としており、露わさ、明らかさ、隠れなさに重点がある。そのものありのままであり、あらわであり、その本質が覆われていない、という意義に関しては、哲学的には本質主義や同一性とも関わりが深い。西欧哲学において真理論は論理学や認識論においてとりわけ主題化される。 真理論の歴史は、古代ギリシアに始まる。人間を尺度とする相対的なものの見方に反論する形で、永遠性・普遍性を有する真理の概念が生まれた。このような絶対性を内実とする真理概念は独断主義を生み、これに対する防衛・反抗が懐疑主義を生んだ。そのどちらにも陥らず、確実な知識の基礎付けを求めて近代の認識論が始まり、その後、真理の担い手が思惟・観念・判断、命題、「事物」（羅：res、レス）等のいずれであるか、について議論がなされてきた。現代論理学では真理の担い手は命題であるとされ、真と偽を合わせて真理値という。論理学で、「Pは○か○でないかのいずれかである（○であり、かつ○でない、ということはない）」という形をした文は○の内容に関係なく正しいので、これは「形式的真理」と呼ばれ、思惟と思惟自身の一致と定義される。このような形式的な形相についてではなく、質料について真理が語られるときは「実体的真理」という。判断について真理が語られるときを「認識論的真理」といい、存在について真理が語られるときを「存在論的真理」という加藤信朗。現代の真理概念は様々な形で修正を受け、相対的な傾向を強めている。 論証する、つまり、言語による表現であることが真理に不可欠であり、哲学的にはロゴスとも関わりが深い。東洋には不言真如という概念もある。 人間を自由にするものとしての真理が説かれることもある。キリスト教では「真理はあなたたちを自由にする（ヨハネ8章32節） 」と説かれている。仏教では、人間を苦しみから解放する真理をあらわす「法」が説かれる。.
証明論
証明論（proof theory）は、数理論理学の一分野であり、証明を数学的対象として形式的に表し、それに数学的解析を施す。.
背理法
背理法（はいりほう、proof by contradiction, reduction to the absurd, indirect proof, apagogical argument など、reductio ad absurdum）とは、ある命題 P を証明したいときに、P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けることである。帰謬法（きびゅうほう）とも言う。 P を仮定すると、矛盾が導けることにより、P の否定 ¬P を結論付けることは否定の導入などと呼ばれる。これに対して ¬P を仮定すると矛盾が導けることにより P を結論付けることを狭義の背理法あるいは否定の除去ということがある。否定の導入と狭義の背理法をあわせて広義の背理法ということもある。 一般的には、背理法と言った場合広義の背理法を指す。否定の導入により、¬P から矛盾が導けた場合、¬¬P を結論できるが、いわゆる古典論理では推論規則として二重否定の除去が認められているため、結局 P が結論できることになる。排中律や二重否定の除去が成り立たない直観論理では、狭義の背理法による証明は成立しないが、否定の導入や、¬¬¬P から ¬P を結論することは、認められる。 背理法を使って証明される有名な定理には、\sqrt が無理数であること、素数が無限に存在すること、中間値の定理，ハイネ・カントールの定理などがあり、無限を相手にした証明には基本的に背理法のスタイルを取らざるを得ないものが多くある。 しかし例えば、\sqrt が無理数である（すなわち有理数でない）ことの証明は、狭義の背理法ではなく否定の導入によって証明することができる。 背理法の証明において仮定に矛盾する結論を導く場合は，容易に非背理法証明に直すことができる．たとえば，ハイネ・カントールの定理：「有界閉集合上の連続関数は一様連続である」は，有界閉集合上の連続関数 f は一様連続でないと仮定して議論を進め， f が連続でないことを導いて矛盾を出すが，これは連続性を仮定せず「有界閉集合上の関数 f が一様連続でない」と仮定し，連続でないことを示すことによって，対偶としてハイネ・カントールの定理が直接証明できる（((P かつ Q)⇒R) ⇔ ((P かつ ￢R)⇒￢Q) ということを用いる）．.
自然数
自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。.
推論規則
推論規則（すいろんきそく、rule of inference, inference rule, transformation rule）とは、論理式から他の論理式を導く推論の規則である。 記号、公理、代入規則、推論規則によって理論を形式化したものを公理系という。 公理は記号だけで記述されるが、推論規則や代入規則はこれらの記号について述べているメタ言語で記述される。 恒真式 （トートロジー）から推論規則を導くと妥当性のある推論になる。.
推論規則と数学の哲学 · 推論規則と証明 ·
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数学の哲学と証明の間の比較
証明が53を有している数学の哲学は、197の関係を有しています。 彼らは一般的な7で持っているように、ジャカード指数は2.80%です = 7 / (197 + 53)。
参考文献
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