ブラウザよりも高速アクセス！数学の哲学と数学史間の類似点
数学の哲学と数学史は（ユニオンペディアに）共通で35ものを持っています: 功利主義、三角形、平方根、幾何学、チューリングマシン、ユークリッド原論、ユークリッド幾何学、プラトン、ピタゴラス、ピタゴラスの定理、ピタゴラス教団、ニコラ・ブルバキ、ダフィット・ヒルベルト、アリストテレス、アルゴリズム、エウクレイデス、カール・ワイエルシュトラス、クルト・ゲーデル、ゲーデルの不完全性定理、ゴットフリート・ライプニッツ、公理的集合論、算術、純粋数学、無理数、無限、無限小、解析学、証明、計算機科学、論理学、...、集合論、連続体仮説、数学、数学基礎論、数理論理学。 インデックスを展開 (5 もっと) »
功利主義
功利主義（こうりしゅぎ、utilitarianism）とは、行為や制度の社会的な望ましさは、その結果として生じる効用（功利、有用性、utility）によって決定されるとする考え方である。帰結主義の1つ。｢功利主義｣という日本語の語感がもたらす誤解を避けるため、｢公益主義｣や｢大福主義」といった訳語が用いることが提案されている。 倫理学、法哲学、政治学、厚生経済学などにおいて用いられる。.
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三角形
200px 三角形（さんかくけい、さんかっけい、拉: triangulum, 独: Dreieck, 英, 仏: triangle, (古風) trigon) は、同一直線上にない3点と、それらを結ぶ3つの線分からなる多角形。その3点を三角形の頂点、3つの線分を三角形の辺という。.
平方根
平方根（へいほうこん、square root）とは、数に対して、平方すると元の値に等しくなる数のことである。与えられた数を面積とする正方形を考えるとき、その数の平方根の絶対値がその一辺の長さであり、一つの幾何学的意味付けができる。また、単位長さと任意の長さ x が与えられたとき、長さ x の平方根を定規とコンパスを用いて作図することができる。二乗根（にじょうこん）、自乗根（じじょうこん）とも言う。.
幾何学
最先端の物理学でも用いられるカラビ-ヤウ多様体の一種。現代幾何学では図も書けないような抽象的な分野も存在する。 幾何学（きかがく、）は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である広辞苑第六版「幾何学」より。イエズス会マテオ・リッチによる geometria の中国語訳である。以前は geometria の冒頭の geo- を音訳したものであるという説が広く流布していたが、近年の研究により否定されている。 もともと測量の必要上からエジプトで生まれたものだが、人間に認識できる図形に関する様々な性質を研究する数学の分野としてとくに古代ギリシャにて独自に発達しブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。、これらのおもな成果は紀元前300年ごろユークリッドによってユークリッド原論にまとめられた。その後中世以降のヨーロッパにてユークリッド幾何学を発端とする様々な幾何学が登場することとなる。 幾何学というとユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学が一般には馴染みが深いであろうが、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している。 現代の日本の教育では、体系的な初等幾何学はほぼ根絶されかけたが、近年、中・高の数学教育で線型幾何/代数幾何を用いない立体を含む、本格的な綜合幾何は見直されつつある。.
チューリングマシン
チューリングマシン (Turing Machine) は計算模型のひとつで、計算機を数学的に議論するための単純化・理想化された仮想機械である。.
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ユークリッド原論
ュリュンコスで発見された『ユークリッド原論』のパピルスの写本断片。紀元100年ごろの作。図は『原論』第2巻の命題5に添えられたもの。 ユークリッド原論（ユークリッドげんろん)は、紀元前3世紀ごろにエジプトのアレクサンドリアの数学者ユークリッドによって編纂されたと言われる数学書『原論』（げんろん、Στοιχεία, ストイケイア、Elements）のことである。著者のユークリッドに関する資料は乏しく実在性を疑う説もあり、原論執筆の地がアレクサンドリアであることに対する明確な根拠も無い。プラトンの学園アカデメイアで知られていた数学の成果を集めて体系化した本と考えられており、論証的学問としての数学の地位を確立した古代ギリシア数学を代表する名著である。古代の書物でありながらその影響は古代に留まらず、後世の人々によって図や注釈が加えられたり翻訳された多種多様な版が作られ続け、20世紀初頭に至るまで標準的な数学の教科書の一つとして使われていたため、西洋の書物では聖書に次いで世界中で読まれてきた本とも評される。英語の数学「Mathematics」の語源といわれているラテン語またはギリシア語の「マテーマタ」（Μαθήματα）は「レッスン（学ばれるべきことども）」という意味であり、このマテーマタを集大成したものが『原論』である。.
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ユークリッド幾何学
ユークリッド幾何学（ユークリッドきかがく、Euclidean geometry）は、幾何学体系の一つであり、古代エジプトのギリシア系・哲学者であるエウクレイデスの著書『ユークリッド原論』に由来する。詳しい説明は『ユークリッド原論』の記事にある。.
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プラトン
プラトン（プラトーン、、Plato、紀元前427年 - 紀元前347年）は、古代ギリシアの哲学者である。ソクラテスの弟子にして、アリストテレスの師に当たる。 プラトンの思想は西洋哲学の主要な源流であり、哲学者ホワイトヘッドは「西洋哲学の歴史とはプラトンへの膨大な注釈である」という趣旨のことを述べた“ヨーロッパの哲学の伝統のもつ一般的性格を最も無難に説明するならば、プラトンに対する一連の脚註から構成されているもの、ということになる”（『過程と実在』）。ちなみに、ホワイトヘッドによるこのプラトン評は「あらゆる西洋哲学はプラトンのイデア論の変奏にすぎない」という文脈で誤って引用されることが多いが、実際には、「プラトンの対話篇にはイデア論を反駁する人物さえ登場していることに見られるように、プラトンの哲学的着想は哲学のあらゆるアイデアをそこに見出しうるほど豊かであった」という意味で評したのである。。『ソクラテスの弁明』や『国家』等の著作で知られる。現存する著作の大半は対話篇という形式を取っており、一部の例外を除けば、プラトンの師であるソクラテスを主要な語り手とする。 青年期はアテナイを代表するレスラーとしても活躍し、イストミア大祭に出場した他、プラトンという名前そのものがレスリングの師から付けられた仇名であると言われているディオゲネス・ラエルティオス『ギリシア哲学者列伝』3巻4節。（中野好夫訳、1984年、pp.
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ピタゴラス
ピタゴラス（、Pythagoras、Pythagoras、紀元前582年 - 紀元前496年）は、古代ギリシアの数学者、哲学者。「サモスの賢人」と呼ばれた。ピュタゴラスとも表記される。.
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ピタゴラスの定理
90 度回転し、緑色の部分は裏返して橙色に重ねる。 視覚的証明 初等幾何学におけるピタゴラスの定理（ピタゴラスのていり、Pythagorean theorem）は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す。斜辺の長さを, 他の2辺の長さを とすると、定理は が成り立つという等式の形で述べられる。三平方の定理（さんへいほうのていり）、勾股弦の定理（こうこげんのていり）とも呼ばれる。 ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。例えば、直交座標系において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる2次元の座標系を例に取ると、ある点 の 軸成分を, 軸成分を とすると、原点から までの距離は と表すことができる。ここで は平方根を表す。。このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間の距離を測ることができる。このようにして導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。 「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスが発見したかどうかは分からない。バビロニア数学のプリンプトン322や古代エジプトなどでもピタゴラス数については知られていたが、彼らが定理を発見していたかどうかは定かではない。 中国古代の数学書『九章算術』や『周髀算経』でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼び、日本の和算でも中国での名称を用いて鉤股弦の法（こうこげんのほう）等と呼んだ。三平方の定理という名称は、敵性語が禁じられていた第二次世界大戦中に文部省の図書監修官であった塩野直道の依頼を受けて、数学者末綱恕一が命名したものである。.
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ピタゴラス教団
日の出を祝うピタゴラス（:en:Fyodor Bronnikov画） ピタゴラス教団（ピタゴラスきょうだん、Pythagorean Order）は、古代ギリシアにおいて哲学者のピタゴラスによって創設されたとされる一種の宗教結社。ピュタゴラス教団とも。.
ニコラ・ブルバキ
ニコラ・ブルバキ（Nicolas Bourbaki, ブールバキとも）は架空の数学者であり、主にフランスの若手の数学者集団のペンネームである。当初この数学者集団は秘密結社として活動し、ブルバキを一個人として活動させ続けた。日本で出版された38冊に及ぶ数学原論や、定期的に開催されるで有名。.
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ダフィット・ヒルベルト
ーニヒスベルクにて私講師を務めていた頃（1886年） ヒルベルトの墓碑。「我々は知らねばならない、我々は知るだろう」と記されている。 ダフィット・ヒルベルト（David Hilbert,, 1862年1月23日 - 1943年2月14日）は、ドイツの数学者。「現代数学の父」と呼ばれる。名はダヴィット，ダヴィド、ダーフィットなどとも表記される。.
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アリストテレス
アリストテレス（アリストテレース、Ἀριστοτέλης - 、Aristotelēs、前384年 - 前322年3月7日）は、古代ギリシアの哲学者である。 プラトンの弟子であり、ソクラテス、プラトンとともに、しばしば「西洋」最大の哲学者の一人とされ、その多岐にわたる自然研究の業績から「万学の祖」とも呼ばれる。特に動物に関する体系的な研究は古代世界では東西に類を見ない。イスラーム哲学や中世スコラ学、さらには近代哲学・論理学に多大な影響を与えた。また、マケドニア王アレクサンドロス3世（通称アレクサンドロス大王）の家庭教師であったことでも知られる。 アリストテレスは、人間の本性が「知を愛する」ことにあると考えた。ギリシャ語ではこれをフィロソフィア（）と呼ぶ。フィロは「愛する」、ソフィアは「知」を意味する。この言葉がヨーロッパの各国の言語で「哲学」を意味する言葉の語源となった。著作集は日本語版で17巻に及ぶが、内訳は形而上学、倫理学、論理学といった哲学関係のほか、政治学、宇宙論、天体学、自然学（物理学）、気象学、博物誌学的なものから分析的なもの、その他、生物学、詩学、演劇学、および現在でいう心理学なども含まれており多岐にわたる。アリストテレスはこれらをすべてフィロソフィアと呼んでいた。アリストテレスのいう「哲学」とは知的欲求を満たす知的行為そのものと、その行為の結果全体であり、現在の学問のほとんどが彼の「哲学」の範疇に含まれている立花隆『脳を究める』（2001年3月1日 朝日文庫）。 名前の由来はギリシア語の aristos （最高の）と telos （目的）から 。.
アルゴリズム
フローチャートはアルゴリズムの視覚的表現としてよく使われる。これはランプがつかない時のフローチャート。 アルゴリズム（algorithm ）とは、数学、コンピューティング、言語学、あるいは関連する分野において、問題を解くための手順を定式化した形で表現したものを言う。算法と訳されることもある。 「問題」はその「解」を持っているが、アルゴリズムは正しくその解を得るための具体的手順および根拠を与える。さらに多くの場合において効率性が重要となる。 コンピュータにアルゴリズムをソフトウェア的に実装するものがコンピュータプログラムである。人間より速く大量に計算ができるのがコンピュータの強みであるが、その計算が正しく効率的であるためには、正しく効率的なアルゴリズムに基づいたものでなければならない。.
エウクレイデス
ラファエロの壁画「アテナイの学堂」に画かれたエウクレイデス アレクサンドリアのエウクレイデス（、、（ユークリッド）、紀元前3世紀? - ）は、古代ギリシアの数学者、天文学者とされる。数学史上最も重要な著作の1つ『原論』（ユークリッド原論）の著者であり、「幾何学の父」と称される。 プトレマイオス1世治世下（紀元前323年-283年）のアレクサンドリアで活動した。『原論』は19世紀末から20世紀初頭まで数学（特に幾何学）の教科書として使われ続けた。線の定義について、「線は幅のない長さである」、「線の端は点である」など述べられている。基本的にその中で今日ユークリッド幾何学と呼ばれている体系が少数の公理系から構築されている。エウクレイデスは他に光学、透視図法、円錐曲線論、球面天文学、誤謬推理論、図形分割論、天秤などについても著述を残したとされている。 なお、エウクレイデスという名はギリシア語で「よき栄光」を意味する。その実在を疑う説もあり、その説によると『原論』は複数人の共著であり、エウクレイデスは共同筆名とされる。 確実に言えることは、彼が古代の卓越した数学者で、アレクサンドリアで数学を教えていたこと、またそこで数学の一派をなしたことである。ユークリッド幾何学の祖で、原論では平面・立体幾何学、整数論、無理数論などの当時の数学が公理的方法によって組み立てられているが、これは古代ギリシア数学の一つの成果として受け止められている。.
カール・ワイエルシュトラス
ール・ワイエルシュトラス カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス（Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, 1815年10月31日 – 1897年2月19日）はドイツの数学者である。姓のワイ (Wei) の部分はヴァイと表記するほうが正確である。また、"er" に当たる部分はエル/ヤ/ア、"st" はシュト/スト、"raß" はラス/ラースとそれぞれ表記されることがある。.
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クルト・ゲーデル
ルト・ゲーデル（Kurt Gödel, 1906年4月28日 - 1978年1月14日）は、オーストリア・ハンガリー二重帝国（現チェコ）のブルノ生まれの数学者・論理学者である。業績には、完全性定理及び不完全性定理、連続体仮説に関する研究が知られる。.
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ゲーデルの不完全性定理
ーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、）又は単に不完全性定理とは、数学基礎論における重要な定理で、クルト・ゲーデルが1930年に証明したものである。;第1不完全性定理: 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。;第2不完全性定理: 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。.
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ゴットフリート・ライプニッツ
ットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（Gottfried Wilhelm Leibniz、1646年7月1日（グレゴリオ暦）/6月21日（ユリウス暦） - 1716年11月14日）は、ドイツの哲学者、数学者。ライプツィヒ出身。なお Leibniz の発音は、（ライプニッツ）としているものと、（ライブニッツ）としているものとがある。ルネ・デカルトやバールーフ・デ・スピノザなどとともに近世の大陸合理主義を代表する哲学者である。主著は、『モナドロジー』、『形而上学叙説』、『人間知性新論』など。.
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公理的集合論
公理的集合論（こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory）とは、公理化された集合論のことである。.
算術
算術 (さんじゅつ、arithmetic) は、数の概念や数の演算を扱い、その性質や計算規則、あるいは計算法などの論理的手続きを明らかにしようとする学問分野である。.
純粋数学
純粋数学（じゅんすいすうがく、pure mathematics）とは、しばしば応用数学と対になる概念として、応用をあまり意識しない数学の分野に対して用いられる総称である。 数学のどの分野が純粋数学でありどの分野が応用数学であるかという社会的に広く受け入れられた厳密な合意があるわけではなく、区別は便宜的なものとして用いられることが多い。また数学がより広範な範囲で利用されるに従い、分野としての純粋と応用との区別はあいまいで困難なものとなってきている。ただし、純粋数学という用語を用いる場合の志向としては、議論される数学の厳密性、抽象性を基とした数学単体での美しさを重視する傾向がある。.
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無理数
無理数（むりすう、 irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数（比.
無限
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。 直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。このことから、しばしば哲学、論理学や自然科学などの一部の分野において考察の対象として無限という概念が取り上げられ、そして深い考察が得られている。 本項では、数学などの学問分野において、無限がどのように捉えられ、どのように扱われるのかを記述する。.
無限小
数学における無限小（むげんしょう、infinitesimal）は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である。無限小に関して実証的に観察されることは、それらが定量的にいくら小さかろうと、角度や傾きといったある種の性質はそのまま有効であることである。 術語 "infinitesimal" は、17世紀の造語 infinitesimus（もともとは列の「無限番目」の項を意味する言葉）に由来し、これを導入したのは恐らく1670年ごろ、メルカトルかライプニッツである。無限小はライプニッツがやなどをもとに展開した無限小解析における基本的な材料である。よくある言い方では、無限小対象とは「可能な如何なる測度よりも小さいが零でない対象である」とか「如何なる適当な意味においても零と区別することができないほど極めて小さい」などと説明される。故に形容（動）詞的に「無限小」を用いるときには、それは「極めて小さい」という意味である。このような量が意味を持たせるために、通常は同じ文脈における他の無限小対象と比較をすること（例えば微分商）が求められる。無限個の無限小を足し合わせることで積分が与えられる。 シラクサのアルキメデスは、自身の （機械的定理証明法）においてと呼ばれる手法を応分に用いて領域の面積や立体の体積を求めた。正式に出版された論文では、アルキメデスは同じ問題を取り尽くし法を用いて証明している。15世紀にはニコラウス・クザーヌスの業績として（17世紀にはケプラーがより詳しく調べているが）、特に円を無限個の辺を持つ多角形と見做して円の面積を計算する方法が見受けられる。16世紀における、任意の実数の十進表示に関するシモン・ステヴィンの業績によって、実連続体を考える下地はすでにでき上がっていた。カヴァリエリの不可分の方法は、過去の数学者たちの結果を拡張することに繋がった。この不可分の方法は幾何学的な図形を 1 の量に分解することと関係がある。ジョン・ウォリスの無限小は不可分とは異なり、図形をもとの図形と同じ次元の無限に細い構成要素に分解するものとして、積分法の一般手法の下地を作り上げた。面積の計算においてウォリスは無限小を 1/∞ と書いている。 ライプニッツによる無限小の利用は、「有限な数に対して成り立つものは無限な数に対しても成り立ち、逆もまた然り」有限/無限というのは個数に関して言うのではない（有限個/無限個ではない）ことに注意せよ。ここでいう「有限」とは無限大でも無限小でもないという意味である。や（割り当て不能な量を含む式に対して、それを割り当て可能な量のみからなる式で置き換える具体的な指針）というような、経験則的な原理に基づくものであった。18世紀にはレオンハルト・オイラーやジョゼフ＝ルイ・ラグランジュらの数学者たちによって無限小は日常的に使用されていた。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは自身の著書 （解析学教程）で、無限小を「連続量」(continuity) ともディラックのデルタ函数の前身的なものとも定義した。カントールとデデキントがスティーヴンの連続体をより抽象的な対象として定義したのと同様に、は函数の増大率に基づく「無限小で豊饒化された連続体」(infinitesimal-enriched continuum) に関する一連の論文を著した。デュ・ボア＝レーモンの業績は、エミール・ボレルとトアルフ・スコーレムの両者に示唆を与えた。ボレルは無限小の増大率に関するコーシーの仕事とデュ・ボア＝レーモンの仕事を明示的に結び付けた。スコーレムは、1934年に最初の算術の超準モデルを発明した。連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された（ロビンソンは1948年にが、および1955年にが成した先駆的研究に基づき超準解析を展開した）。ロビンソンの超実数 (hyperreals) は無限小で豊饒化された連続体の厳密な定式化であり、がライプニッツの連続の法則の厳密な定式化である。また、はフェルマーの (adequality, pseudo-equality) の定式化である。 ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている.
解析学
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、極限や収束といった概念を扱う数学の分野である 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「解析学」より。ISBN978-4-00-080309-0 C3541 。代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす。 数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い。これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する。 例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる。 解析学の最も基本的な部分は、微分積分学、または微積分学と呼ばれる。また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する。また解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。 解析学は微積分をもとに、微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており、現代では確率論をも含む。 現代日本においては解析学の基本的分野は概ね高校2年から大学2年程度で習い、進度の差はあれ世界中の高校や大学等で教えられている。.
証明
証明（しょうめい）とは、ある事柄が真理もしくは事実であることを明らかにすること。また、その内容。.
計算機科学
計算機科学（けいさんきかがく、computer science、コンピュータ科学）とは、情報と計算の理論的基礎、及びそのコンピュータ上への実装と応用に関する研究分野である。計算機科学には様々な下位領域がある。コンピュータグラフィックスのように特定の処理に集中する領域もあれば、計算理論のように数学的な理論に関する領域もある。またある領域は計算の実装を試みることに集中している。例えば、プログラミング言語理論は計算を記述する手法に関する学問領域であり、プログラミングは特定のプログラミング言語を使って問題を解決する領域である。.
数学の哲学と計算機科学 · 数学史と計算機科学 ·
論理学
論理学（ろんりがく、）とは、「論理」を成り立たせる論証の構成やその体系を研究する学問である。.
集合論
集合論（しゅうごうろん、set theory, théorie des ensembles, Mengenlehre）は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。 通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。（論理や述語論理とともに）集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に（無定義語の）「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。 集合論における基本的な操作には、あたえられた集合のべき集合や直積集合をとる、などがある。また二つの集合の元同士の関係（二項関係）を通じて定義される順序関係や写像などの概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では二つの集合はそれぞれの集合の元の間に全単射が存在するとき濃度が等しいという。そこで集合を濃度の等しさによって類別した各々の同値類のことを濃度という。この定義では濃度は真のクラスになってしまうので、濃度そのものを集合論的な対象として取り扱い難い。選択公理を仮定すると任意の集合は整列可能であることが導かれる。整列集合の順序型を順序同型で類別した各々の同値類と定義してしまうと、それは真のクラスとなってしまう。幸いなことに任意の整列集合は順序数と呼ばれる特別な集合（を帰属関係で順序付けしたもの）と順序同型となる。そのためそれら順序数を整列集合の順序型と定義することができる。また順序数全体 \mathrm（これは真のクラスになる）もまた整列順序付けられている。以上のもとで、集合の濃度を と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はを参照。.
連続体仮説
連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。.
数学の哲学と連続体仮説 · 数学史と連続体仮説 ·
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
数学基礎論
数学基礎論（すうがくきそろん、英語：）は、数学の一分野。他の分野が整数・実数・図形・関数などを取り扱うのに対し、数学自体を対象とする。.
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数理論理学
数理論理学（mathematische Logik、mathematical logic）は、論理学（形式論理学）の数学への応用の探求ないしは論理学の数学的な解析を主たる目的とする、数学の関連分野である。局所的には数理論理学は超数学、数学基礎論、理論計算機科学などと密接に関係している。数理論理学の共通な課題としては形式体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。 数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学（とくに）における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細はを参照。 この分野が始まって以来、数理論理学は数学基礎論の研究に貢献し、また逆に動機付けられてきた。数学基礎論は幾何学、算術、解析学に対する公理的な枠組みの開発とともに19世紀末に始まった。20世紀初頭、数学基礎論は、ヒルベルトのプログラムによって、数学の基礎理論の無矛盾性を証明するものとして形成された。クルト・ゲーデルとゲルハルト・ゲンツェンによる結果やその他は、プログラムの部分的な解決を提供しつつ、無矛盾性の証明に伴う問題点を明らかにした。集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。しかしながら、集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。むしろ現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか（逆数学のように）ということに焦点を当てている。.
数学の哲学と数理論理学 · 数学史と数理論理学 ·
上記のリストは以下の質問に答えます
- 何数学の哲学と数学史ことは共通しています
- 何が数学の哲学と数学史間の類似点があります
数学の哲学と数学史の間の比較
数学史が369を有している数学の哲学は、197の関係を有しています。 彼らは一般的な35で持っているように、ジャカード指数は6.18%です = 35 / (197 + 369)。
参考文献
この記事では、数学の哲学と数学史との関係を示しています。情報が抽出された各記事にアクセスするには、次のURLをご覧ください:
