実数直線と超球面

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実数直線と超球面の違い

実数直線 vs. 超球面

数学における実数直線（じっすうちょくせん、real line, real number line）は、その上の各点が実数であるような直線である。つまり、実数直線とは、すべての実数からなる集合 を、幾何学的な空間（具体的には一次元のユークリッド空間）とみなしたものということである。この空間はベクトル空間（またはアフィン空間）や距離空間、位相空間、測度空間あるいは線型連続体としてみることもできる。 単に実数全体の成す集合としての実数直線は記号 (あるいは黒板太字の &#x211d) で表されるのがふつうだが、それが一次元のユークリッド空間であることを強調する意味で と書かれることもある。 本項では の位相幾何学的、幾何学的あるいは実解析的な側面に焦点を当てる。もちろん実数の全体は一つの体として代数学でも重要な意味を持つが、その文脈での が直線として言及されるのは稀である。そういった観点を含めた の詳細は実数の項を参照のこと。. 数学において、 次元球面（-じげんきゅうめん、n-sphere, n 球面）は普通の球面の ''n'' 次元空間への一般化である。任意の自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は中心点から距離 r にある (n + 1) 次元ユークリッド空間における点の集合として定義される。ここで半径 r は任意の正の実数でよい。したがって、原点を中心とする n 次元球面は によって定義される。これは (n + 1) 次元ユークリッド空間内に存在する n 次元多様体である。 特に：.

実射影直線

初等幾何学における実射影直線（じつしゃえいちょくせん、real projective line）は、通常の直線の概念の拡張で、歴史的には透視図法に基づいて設定された問題を解決するために導入された。例えば平行線は決して交わらないが、透視図では「無限遠」で交叉するように見える。この問題の解決に際して無限遠点が導入され、そうして得られたにおいて、相異なる二つの射影直線はただ一点のみで交わる。このような無限遠点全体の成す集合は、平面透視図法における「地平線」であり、それ自身がひとつの実射影直線となる。これは任意の点に位置する観測者から発せられた方向を持つ円の、反対にある点を同一視したものである。実射影直線のモデルとしてがある。透視図に地平線を表す直線を描くことで、無限遠に余分な点が地平線へ伸びる平行線の集まりを表現するために追加される。 厳密には、実射影直線は実数体上二次元のベクトル空間内の一次元部分線型空間全体の成す空間として定義される。これにより、2 × 2 の正則行列全体の成す一般線型群が自然に作用する。このとき中心に属する行列の作用は自明となるから、射影一般線型群 もまた射影直線に自然に作用する。これらは射影直線上の群である。射影直線を実数直線位無限遠点を加えたものとして表すとき、射影線型群の元は一次分数変換として作用する。これら実射影直線上の変換は射影変換と呼ばれる。 位相幾何学的には、実射影直線は円周に同相（位相的円周）である。実射影直線は双曲平面の境界を成すが、双曲平面上の任意の等距変換は境界である実射影直線上の幾何学的変換を一意的に誘導し、逆もまた成り立つ。さらに言えば、双曲平面上の任意の調和函数は、等距変換群の作用と両立する仕方で、射影直線上の分布のポワソン積分として与えられる。この位相的円周上には無数の両立可能な射影構造を持ち、そのような構造を持つ空間は（無限次元）と呼ばれる。実射影直線の複素数版は複素射影直線、いわゆるリーマン球面である。.

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実数

数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.

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位相同型

位相同型 （いそうどうけい、homeomorphic）、あるいは同相（どうそう）とは、2つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」な双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップの表面も同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は位相幾何学的に全く同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球面とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。（直観的には、連続的な変形によって穴の個数が変化することはないということである。） ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。.

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位相幾何学

一つの面と一つの辺を持つメビウスの帯は位相幾何学で研究される対象の一種である。 自明な結び目）を三次元で描いたもの 数学の一分野、位相幾何学（いそうきかがく、topology, トポロジー）は、その名称がτόπος（「位置」「場所」）と （「言葉」「学問」） に由来し、「位置の学問」を意味している。 トポロジーは、何らかの形（かたち。あるいは「空間」）を連続変形（伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと）しても保たれる性質（または位相不変量）に焦点を当てたものである。位相的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる。 位相幾何学は、空間、次元、変換といった概念の研究を通じて、幾何学および集合論から生じた分野である。このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」（geometria situs）および「位置の解析」（analysis situs）を見越したゴットフリート・ライプニッツにまで遡れる。レオンハルト・オイラーの「ケーニヒスベルクの七つの橋」の問題および多面体公式がこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている。用語 topology は19世紀にによって導入されたが、位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。20世紀中ごろには、位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた。 位相幾何学には様々な分科が存在する。.

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ユークリッド空間

数学におけるユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）は、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.

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アレクサンドロフ拡大

数学の一分野位相空間論におけるアレクサンドロフ拡大（アレクサンドロフかくだい、Alexandroff extension）は、一点を追加することにより非コンパクト位相空間を拡大してコンパクト空間を得る方法である。名称はロシア人数学者に因む。 より精確に、位相空間 に対し、 のアレクサンドロフ拡大とは、適当なコンパクト空間 と開埋め込み の組で、埋め込まれた の における補集合が一点（それをふつう と書く）となるようなものを言う。埋め込み写像 がハウスドルフ埋め込みとなるための必要十分条件は、 がコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間であることである。そのような空間に対するアレクサンドロフ拡大は一点コンパクト化（いってんコンパクトか、one-point compactification）あるいはアレクサンドロフコンパクト化 (Alexandroff compactification) と呼ぶ。アレクサンドロフコンパクト化を考えることの優位な点は、それが単純な操作であること、大抵幾何学的に意味のある構造となること、および任意のコンパクト化の中で極小であるという事実にある。不利な点は、それがハウスドルフコンパクト化を与えるのがコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間のクラスに限られることであり、この点は任意の位相空間というより広範なクラスにおいて存在するとは異なる特徴ということになる。.

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球体

数学における球体（きゅうたい、ball）は球面の内側の空間全体を言う。それが境界点の全体である球面を全く含むとき閉球体（へいきゅうたい、closed ball）、全く含まないとき開球体（かいきゅうたい、open ball）と呼ばれる。 これらの概念は三次元ユークリッド空間のみならず、より低次または高次の空間、あるいはより一般の距離空間において定義することができる。-次元の球体は -次元（超）球体（あるいは短く -球体）と呼ばれ、その境界は(''n''−1)-次元（超）球面'''（あるいは短く -球面）と呼ばれる。例えばユークリッド平面における球体は円板のことであり、それを囲む境界は円周である。また、三次元ユークリッド空間における球体（通常の球体）は二次元球面（通常の球面）によって囲まれる体積を占める。 ユークリッド幾何学などの文脈において、球体 (ball) の意味でしばしば略式的に球 (sphere) と呼ぶ場合がある（球が球面の意である場合もある）。.

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数学

数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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