完全系列と対称群

ショートカット: 違い、類似点、ジャカード類似性係数、参考文献。

完全系列と対称群の違い

完全系列 vs. 対称群

ホモロジー代数における完全系列（かんぜんけいれつ、exact sequence）あるいは完全列（かんぜんれつ）とは、環上の加群や群などの系列で各射の像空間が次の射の核空間と正確に合致するという意味で完全であるものをいう。. 対称群（たいしょうぐん、）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、）という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、）と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。.

群 (数学)

数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.

完全系列と群 (数学) · 対称群と群 (数学) · 続きを見る »

群の中心

代数学における群 の核心または中心（ちゅうしん、center）この記法の Z はドイツ語で中心という意味の Zentrum に由来する。英語の center から のような記法が使われることも在るが、中心化群などと紛らわしい。 は の全ての元と可換となるような元全体の成す集合 である。 の中心は の部分群であり、定義からアーベル群（可換群）である。部分群としては、常に正規であり、特性的であるが必ずしも完全特性的 (fully characteristic) ではない。剰余群 は の内部自己同型群に同型である。 群 がアーベル群となることと となることとは同値である。これと正反対に、 が自明（つまり単位元のみからなる）ならば群 は中心を持たない (centerless) という。 中心に属する元はしばしば中心的 (central) であるといわれる。.

完全系列と群の中心 · 対称群と群の中心 · 続きを見る »

環上の加群

抽象代数学における環上の加群（かぐん、module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。 任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。 加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。.

完全系列と環上の加群 · 対称群と環上の加群 · 続きを見る »