分数と素イデアル

ショートカット: 違い、類似点、ジャカード類似性係数、参考文献。

分数と素イデアルの違い

分数 vs. 素イデアル

分数（ぶんすう、fraction）とは 2 つの数の比を用いた数の表現方法のひとつである。. 素イデアル（prime ideal）は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環（一般に）のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアルの有限個の積として（順序を除いて）一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。スキームの理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。.

可換環

数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。 いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。.

分数と可換環 · 可換環と素イデアル · 続きを見る »

積閉集合

抽象代数学における積閉集合（せきへいしゅうごう、multiplicatively closed set）あるいは乗法的集合（じょうほうてきしゅうごう、multiplicative set）は、（有限）積に関して閉じている集合を言う。 積閉集合は特に可換環論において重要である。そこでは積閉集合が環の局所化の構成に用いられる。.

分数と積閉集合 · 積閉集合と素イデアル · 続きを見る »

環 (数学)

数学における環（かん、ring）は、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す（乗法単位元の存在を要求しない）こともある。定義に関する注意節を参照。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。 環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。 また、環論は基本的な物理法則（の根底にある特殊相対性）や物質化学における対称現象の理解にも寄与する。 環の概念は、1880年代のデデキントに始まる、フェルマーの最終定理に対する証明の試みの中で形成されていった。他分野（主に数論）からの寄与もあって、環の概念は一般化されていき、1920年代のうちにエミー・ネーター、ヴォルフガング・クルルらによって確立される。活発に研究が行われている数学の分野としての現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する（イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環（斜体）が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。.

分数と環 (数学) · 環 (数学)と素イデアル · 続きを見る »

環の局所化

抽象代数学における環の局所化（きょくしょか、localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)ここでいう「分数環」や「商環」は、「分数体」や「商体」と同様の語法であって、剰余環の別名としての「商環」(quotient ring) とは異なる。商体や全商環は本項にいう意味での商環の特別な場合になっている（例節を参照）。 は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 とその部分集合 が与えられたとき、環 と から への環準同型を構成して、 の準同型像が における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、 が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 の部分集合 による局所化は で表され、あるいは が素イデアル \mathfrak の補集合であるときには R_ で表される。 のことを と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。 局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。.

分数と環の局所化 · 環の局所化と素イデアル · 続きを見る »

零因子

抽象代数学において、環 R の元 a は、ax.

分数と零因子 · 素イデアルと零因子 · 続きを見る »

整域

抽象代数学における整域（せいいき、integral domain）は、零因子を持たない可換環であって、自明環 でないものをいう。整域の概念は整数全体の成す環の一般化になっており、整除可能性を調べるのに自然な設定を与える。環の定義に乗法単位元を含めない場合であっても、単に可換環あるいは整域と言ったときには乗法単位元を持つと仮定することが少なくない。即ち、整域とは単位的可換域のことをいう。 上記の如く「整域」を定めるのが広く採用されているけれども、いくらかの揺れもある。特に、非可換な整域を許すことが時としてある。しかし、「整域」(integral domain) という語を可換の場合のために用い、非可換の場合には「域」(domain) を用いることにすると約束するのがたいていの場合には有効である（奇妙な話ではあるが、この文脈では形容辞「整」の中に「可換」の意も含まれるということになる）。別な文献では（ラングが顕著だが）整環 (entire ring) を用いるものがある「整環」という用語は、代数体の整環 (order) などに対しても用いられる。。 いくつか特定の種類の整域のクラスについては、以下のような包含関係が成立する。 零因子の非存在（零積法則）は、整域において非零元による乗法の簡約律が満足されることを意味する。つまり、a ≠ 0 のとき、等式 から が結論できる。.

分数と整域 · 整域と素イデアル · 続きを見る »