不連続性の分類と連続 (数学)

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不連続性の分類と連続 (数学)の違い

不連続性の分類 vs. 連続 (数学)

連続関数は数学およびその応用において非常に重要である。しかし、関数が全て連続というわけではない。ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。 本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。. 数学において、連続（れんぞく、continuous）および連続性（れんぞくせい、continuity）とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。.

定義域

数学における写像の定義域（ていぎいき、domain of definition）あるいは始域（しいき、domain; 域, 領域）とは、写像の値の定義される引数（「入力」）の取り得る値全体からなる集合である。つまり、写像はその定義域の各元に対して（「出力」としての）値を与える。 例えば、実数の範囲での議論において、余弦函数の定義域はふつう実数全体の成す集合（実数直線）であるし、正の平方根函数の定義域は 以上の実数全体の成す集合であるものとする。定義域が実数から成る集合（実数全体の成す集合の部分集合）であるような実数値函数は、その定義域が -軸上にあるものとして -直交座標系に表すことができる。.

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ディリクレの関数

ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。 f(x).

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数学

数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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