ルジャンドル変換と凸共役性

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ルジャンドル変換と凸共役性の違い

ルジャンドル変換 vs. 凸共役性

ルジャンドル変換（ルジャンドルへんかん、Legendre transformation）とは、凸解析において、関数の変数を変えるために用いられる変換である。名前はフランスの数学者、アドリアン＝マリ・ルジャンドルに因む。ルジャンドル変換は点と線の双対性、つまり下に凸な関数 は の点の集合によって表現できるが、それらの傾きと切片の値で指定される接線の集合によっても等しく充分に表現できることに基いている。 ルジャンドルは解析力学におけるラグランジアンをハミルトニアンに変換する際にルジャンドル変換を用いた。他にも、熱力学における熱力学関数間の変換など、物理学において広く応用されている。 ルジャンドル変換の一般化としてルジャンドル＝フェンシェル変換がある（ルジャンドル＝フェンシェル変換については凸共役性を参照）。. 数学において凸共役（とつきょうやく、）とは、ルジャンドル変換の一般化である。ルジャンドル＝フェンシェル変換あるいはフェンシェル変換としても知られる（アドリアン＝マリ・ルジャンドルとの名にちなむ）。.

ヤングの不等式

ヤングの不等式(-ふとうしき、Young's inequality)とは、積とべき乗の和との間に成り立つ不等式であり、様々な分野で広く用いられている。 a,bを非負値な実数、1 ab \le \frac + \frac.

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アドリアン＝マリ・ルジャンドル

アドリアン＝マリ・ルジャンドル（Adrien-Marie Legendre、1752年9月18日 - 1833年1月10日）は、フランスのパリトゥールーズ出身ともされる。出身の数学者。統計学、数論、代数学、解析学で様々な功績を残した。中でも整数論や楕円積分に大きく貢献したとして名高い。.

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凸関数

凸関数（とつかんすう、convex function）、下に凸関数 とは、ある区間で定義された実数値関数 で、区間内の任意の 2 点 と開区間 内の任意の に対して を満たすものをいう。言い換えれば、エピグラフ（グラフ上およびグラフの上部の点の集合）が凸集合である関数である。より一般に、ベクトル空間の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する。 また、狭義凸関数とは、任意の異なる 2 点 と開区間 内の任意の に対して を満たす関数である（従って、下に凸な関数の事である）。 が凸関数のとき、 を凹関数（おうかんすう、）と呼ぶ。凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。.

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