ラプラス変換と自然対数

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ラプラス変換と自然対数の違い

ラプラス変換 vs. 自然対数

関数解析学において、ラプラス変換（ラプラスへんかん、Laplace transform）とは、積分で定義される関数空間の間の写像（線型作用素）の一種。関数変換。 ラプラス変換の名はピエール＝シモン・ラプラスにちなむ。 ラプラス変換によりある種の微分・積分は積などの代数的な演算に置き換わるため、制御工学などにおいて時間領域の（とくに超越的な）関数を別の領域の（おもに代数的な）関数に変換することにより、計算方法の見通しを良くするための数学的な道具として用いられる。 フーリエ変換を発展させて、より実用本位で作られた計算手法である。1899年に電気技師であったオリヴァー・ヘヴィサイドが回路方程式を解くための実用的な演算子を経験則として考案して発表し、後に数学者がその演算子に対し厳密に理論的な裏付けを行った経緯がある。理論的な根拠が曖昧なままで発表されたため、この計算手法に対する懐疑的な声も多かった。この「ヘヴィサイドの演算子」の発表の後に、多くの数学者達により数学的な基盤は1780年の数学者ピエール＝シモン・ラプラスの著作にある事が指摘された(この著作においてラプラス変換の公式が頻繁に現れていた)。 従って、数学の中ではかなり応用寄りの分野である。ラプラス変換の理論は微分積分、線形代数、ベクトル解析、フーリエ解析、複素解析を基盤としているため、理解するためにはそれらの分野を習得するべきである。 これと類似の解法として、より数学的な側面から作られた演算子法がある。こちらは演算子の記号を多項式に見立て、代数的に変形し、公式に基づいて特解を求める方法である。. 実解析において実数の自然対数（しぜんたいすう、natural logarithm）は、超越的無理数であるネイピアの定数 を底とする対数を言う。 の自然対数を や、より一般に あるいは単に（底を暗に伏せて） などと書く。 通常の函数の記法に則って引数を指示する丸括弧を明示的に付けて、 や などのように書いてもよい 定義により、 の自然対数とは の肩にそれを載せた冪が 自身に一致するような冪指数のことに他ならない。例えば、 となることは となることを理由とする。特に の自然対数は であり、 の自然対数は である。 自然対数は、任意の正数 に対して 逆数函数 の から までの間のグラフの下にある面積（ と の成立を意味する。 他の任意の対数がそうであるように、自然対数は なる意味で乗法を加法へ写す。これにより自然対数函数は正の実数の乗法群 から実数の加法群 への写像 として 群の準同型になる。 以外にも、任意の正数 に対して、それを底とする対数を定義することができるが、そのような対数は自然対数の定数倍として得ることができる（例えば二進対数は自然対数の 倍である）し、通常はそうして自然対数から定義される。対数は未知の量がほかの適当な量の冪と見なされる問題を解く際に有用で、例えば指数函数的減衰問題における減衰定数としての半減期を求めるときなどに利用できる。このように対数は、数学や自然科学の多くの分野において重要であり、また金融経済において複利を含む問題にも利用できる。 リンデマン–ヴァイアシュトラスの定理により、 でない任意の（正の）代数的数に対してその自然対数は超越数となる。.

実数

数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.

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微分

数学におけるの微分（びぶん）、微分係数、微分商または導函数（どうかんすう、derivative）は、別の量（独立変数）に依存して決まるある量（函数の値あるいは従属変数）の変化の感度を測るものである。微分は微分積分学の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。 一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点における函数のグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。 微分はにも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの函数のグラフを最適線型近似する線型変換と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。 導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算 (differentiation) と言い、その逆の過程（原始函数を求めること）をという。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である。.

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オイラーの定数

イラーの定数（オイラーのていすう、）は、数学定数の1つで、以下のように定義される。 オイラー・マスケローニ定数、オイラーの とも呼ぶ。ちなみに、オイラーはこの定数を表わすのに記号 を用いた。 を用いたのはである。 この値は、およそ0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...である。 オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない。.

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写像

写像（しゃぞう、mapping, map）とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数（関数）、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。 ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価函数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。.

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積分法

積分法（せきぶんほう、integral calculus）は、微分法と共に微分積分学で対を成す主要な分野である。 実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される実変数 x の関数 f の定積分 (独: bestimmte Integral, 英: definite integral, 仏: intégrale définie) は、略式的に言えば f のグラフと x-軸、および x.

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複素数

数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.

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