ユークリッド空間と線型代数学間の類似点
ユークリッド空間と線型代数学は(ユニオンペディアに)共通で9ものを持っています: 代数学、位相空間、ハメル次元、ベクトル空間、アフィン空間、内積、解析学、解析幾何学、計量ベクトル空間。
代数学
代数学(だいすうがく、algebra)は数学の一分野で、「代数」 の名の通り数の代わりに文字を用いて方程式の解法を研究する学問として始まった。しかし19世紀以降の現代数学においては、ヒルベルトの公理主義やブルバキスタイルに見られるように、代数学はその範囲を大きく広げているため、「数の代わりに文字を用いる数学」や「方程式の解法の学問」という理解の仕方は必ずしも適当ではない。現代数学においては、方程式の研究は方程式論(代数方程式論)という代数学の古典的一分野として捉えられている。現在は代数学と言えば以下の抽象代数学をさすのが普通である。 現代代数学は、一般的に代数系を研究する学問分野であると捉えられている。以下に示す代数学の諸分野の名に現れる半群・群・環・多元環(代数)・体・束は代数系がもつ代表的な代数的構造である。 群・環・多元環・体の理論はガロアによる代数方程式の解法の研究などに起源があり、束論はブールによる論理学の数学的研究などに起源がある。 半群は、群・環・多元環・体・束に共通する最も原始的な構造である。 現代日本の大学では 1, 2 年次に、微分積分学と並んで、行列論を含む線型代数学を教えるが、線型代数学は線型空間という代数系を対象とすると共に、半群・群・環・多元環・体と密接に関連し、集合論を介して、また公理論であるために論理学を介して、束とも繋がっている。 現代ではまた、代数学的な考え方が解析学・幾何学等にも浸透し、数学の代数化が各方面で進んでいる。ゆえに、代数学は数学の諸分野に共通言語を提供する役割もあるといえる。.
位相空間
数学における位相空間(いそうくうかん, topological space)とは、集合にある種の情報(位相、topology)を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.
ハメル次元
数学における、ベクトル空間の次元(じげん、dimension)とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数)である。 他の種類の次元との区別のため、ハメル次元または代数次元と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は(選択公理を仮定すれば)基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 F 上のベクトル空間 V の次元を dimF(V) あるいは で表す(文脈から基礎とする体 F が明らかならば単に dim(V) と書く)。 ベクトル空間 V が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。.
ハメル次元とユークリッド空間 · ハメル次元と線型代数学 ·
ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間(ベクトルくうかん、vector space)、または、線型空間(せんけいくうかん、linear space)は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積(「スケール変換」)を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件(後述)を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である(同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す)。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元(大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの)によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は(直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような)古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
ベクトル空間とユークリッド空間 · ベクトル空間と線型代数学 ·
アフィン空間
数学において、アフィン空間(あふぃんくうかん、affine space, アファイン空間とも)または擬似空間(ぎじくうかん)とは、幾何ベクトルの存在の場であり、ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量の概念を取り除いたアフィン構造を抽象化した幾何学的構造である。(代数的な)ベクトル空間からどの点が原点であるかを忘れたものと考えることもできる。 1次元のアフィン空間はアフィン直線、2次元のアフィン空間はと呼ばれる。.
アフィン空間とユークリッド空間 · アフィン空間と線型代数学 ·
内積
線型代数学における内積(ないせき、inner product)は、(実または複素)ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式(実係数の場合には対称双線型形式)のことである。二つのベクトルに対してある数(スカラー)を定める演算であるためスカラー積(スカラーせき、scalar product)ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間と見做される。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。.
ユークリッド空間と内積 · 内積と線型代数学 ·
解析学
解析学(かいせきがく、英語:analysis, mathematical analysis)とは、極限や収束といった概念を扱う数学の分野である 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「解析学」より。ISBN978-4-00-080309-0 C3541 。代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす。 数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い。これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する。 例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる。 解析学の最も基本的な部分は、微分積分学、または微積分学と呼ばれる。また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する。また解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。 解析学は微積分をもとに、微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており、現代では確率論をも含む。 現代日本においては解析学の基本的分野は概ね高校2年から大学2年程度で習い、進度の差はあれ世界中の高校や大学等で教えられている。.
解析幾何学
初等幾何学における解析幾何学(かいせききかがく、analytic geometry)あるいは座標幾何学(ざひょうきかがく、coordinate geometry)、デカルト幾何学(デカルトきかがく、Cartesian geometry)は、座標を用いて代数的解析幾何学という名称における接頭辞「解析」は、微積分学を含む現代的な解析学という意味の「解析」ではなく、発見的な代数的手法によるものであることを示唆するものである。(解析幾何学 - コトバンク)に図形を調べる幾何学をいう。座標を用いるという点において、(より古典的な、ユークリッドの原論にもあるような)点や直線などがどのような公理に従うかということのみによって図形を調べる とは対照的である。座標を利用することにより、図形のもつ性質を座標のあいだにあらわれる関係式として特徴づけたり、数や式として図形を取り扱ったりすることができる。 ふつうは(二次元)平面上の点、直線などを扱う(平面解析幾何)か(三次元)空間内のそれらを扱う(立体解析幾何)。.
ユークリッド空間と解析幾何学 · 線型代数学と解析幾何学 ·
計量ベクトル空間
線型代数学における計量ベクトル空間(けいりょうベクトルくうかん、metric vector space)は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間(ないせきくうかん、inner product space)とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積(スカラー積)を備えたユークリッド空間を任意の次元(無限次元でもよい)のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。 内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は(内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから)前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。.
上記のリストは以下の質問に答えます
- 何ユークリッド空間と線型代数学ことは共通しています
- 何がユークリッド空間と線型代数学間の類似点があります
ユークリッド空間と線型代数学の間の比較
線型代数学が121を有しているユークリッド空間は、64の関係を有しています。 彼らは一般的な9で持っているように、ジャカード指数は4.86%です = 9 / (64 + 121)。
参考文献
この記事では、ユークリッド空間と線型代数学との関係を示しています。情報が抽出された各記事にアクセスするには、次のURLをご覧ください: