マルコフ連鎖モンテカルロ法とモンテカルロ法間の類似点
マルコフ連鎖モンテカルロ法とモンテカルロ法は(ユニオンペディアに)共通で7ものを持っています: マルコフ連鎖、メトロポリス法、レプリカ交換法、粒子フィルタ、計算物理学、計算複雑性理論、次元の呪い。
マルコフ連鎖
マルコフ連鎖(マルコフれんさ、Markov chain)とは、確率過程の一種であるマルコフ過程のうち、とりうる状態が離散的(有限または可算)なもの(離散状態マルコフ過程)をいう。また特に、時間が離散的なもの(時刻は添え字で表される)を指すことが多い(他に連続時間マルコフ過程というものもあり、これは時刻が連続である)。マルコフ連鎖は、未来の挙動が現在の値だけで決定され、過去の挙動と無関係である(マルコフ性)。各時刻において起こる状態変化(遷移または推移)に関して、マルコフ連鎖は遷移確率が過去の状態によらず、現在の状態のみによる系列である。特に重要な確率過程として、様々な分野に応用される。.
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メトロポリス法
メトロポリス法(Metropolis method )は、モンテカルロ法によるシミュレーションにおいて、乱数発生により作った新しい状態を棄却するか採択するかの基準の与え方、あるいは重点サンプリング による分配関数の近似計算の方法。具体的には、系のエネルギー の変化 よって、 ならば確率 1 で、 ならば確率 で採択する。ここで は逆温度であり を満たす。 はボルツマン定数、は系の熱力学温度である。 一般に、詳細釣り合いの原理、非周期性 がある棄却採択法ならば、熱平衡状態のアンサンブルが得られる。.
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レプリカ交換法
レプリカ交換法(レプリカこうかんほう、replica exchange method、レプリカ交換MCMCサンプリング)はパラレルテンパリング(、並列焼きもどし)法としても知られ、モンテカルロシミュレーションやマルコフ連鎖モンテカルロ法(MCMC)のサンプリング効率を改善するための方法である。SwendsenとWangによって開発され、Geyerによって拡張され、その後、特に、福島・根本およびによって発展した。杉田と岡本はパラレルテンパリングの分子動力学法版を考案した。これはレプリカ交換分子動力学(、REMD)として知られている。 手法としては、始めに異なる温度でランダムに初期化された 個の系のコピーを走らせ、メトロポリス法の基準でそれぞれ温度間で系の状態を交換するものである。 この方法の重要な点は、低温のシミュレーションで高温の設定が(またはその逆も)できることである。低エネルギー配置と高エネルギー配置の両方をサンプリングできるため、とても安定にかつ正確なシミュレーションを行うことができる。このようにして、正準集団では一般にうまく計算されない比熱といった熱力学特性がかなり正確に計算できる。.
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粒子フィルタ
粒子フィルタ(Particle filter)、または逐次モンテカルロ法 (Sequential Monte Carlo: SMC)とは、シミュレーションに基づく複雑なモデルの推定法である。 この手法はふつうベイズモデルを推定するのに用いられ、バッチ処理であるマルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) の逐次 (オンライン) 版である。またこの手法は重点サンプリング法にも似たところがある。 うまく設計すると、粒子フィルタはMCMCよりも高速である。拡張カルマンフィルタや無香カルマンフィルタ (Unscented カルマンフィルタ) に対して、十分なサンプル点があればベイズ最適推定に近付くためにより精度が高くなることから、これらの代わりに用いられることがある。手法を組み合わせ、カルマンフィルタを粒子フィルタの提案分布として使うこともできる。.
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計算物理学
計算物理学(けいさんぶつりがく、computational physics)は、解析的に解けない物理現象の基礎方程式を計算機(コンピュータ)を用いて数値的に解くことを目的とする物理学の一分野である。.
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計算複雑性理論
計算複雑性理論(けいさんふくざつせいりろん、computational complexity theory)とは、計算機科学における計算理論の一分野であり、アルゴリズムのスケーラビリティや、特定の計算問題の解法の複雑性(計算問題の困難さ)などを数学的に扱う。計算量理論、計算の複雑さの理論、計算複雑度の理論ともいう。.
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次元の呪い
次元の呪い(じげんののろい、The curse of dimensionality)という言葉は、リチャード・ベルマンが使ったもので、(数学的)空間の次元が増えるのに対応して問題の算法がなることを表している。 例えば、単位区間をサンプリングするには100個の点を等間隔で、かつ点間の距離を 0.01 以上にならないように配置すれば十分である。同じようなサンプリングを10次元の単位超立方体について行おうとすると、必要な点の数は 1020 にもなる。したがって、10次元の超立方体はある意味では単位区間の1018倍の大きさとも言える。 高次元ユークリッド空間の広大さを示す別の例として、単位球と単位立方体の大きさを次元を上げながら比較してみればよい。次元が高くなると、単位球は単位立方体に比較して小さくなっていく。したがってある意味では、ほとんど全ての高次元空間は中心から遠く、言い換えれば、高次元単位空間はほとんど超立方体の角で構成されており、「中間」がない。このことは、カイ二乗分布を理解する上で重要である。.
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マルコフ連鎖モンテカルロ法とモンテカルロ法の間の比較
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参考文献
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