ペアノの公理と数学基礎論間の類似点
ペアノの公理と数学基礎論は(ユニオンペディアに)共通で5ものを持っています: ダフィット・ヒルベルト、ジョン・フォン・ノイマン、公理、公理的集合論、集合論。
ダフィット・ヒルベルト
ーニヒスベルクにて私講師を務めていた頃(1886年) ヒルベルトの墓碑。「我々は知らねばならない、我々は知るだろう」と記されている。 ダフィット・ヒルベルト(David Hilbert,, 1862年1月23日 - 1943年2月14日)は、ドイツの数学者。「現代数学の父」と呼ばれる。名はダヴィット,ダヴィド、ダーフィットなどとも表記される。.
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ジョン・フォン・ノイマン
ョン・フォン・ノイマン(ハンガリー名:Neumann János(ナイマン・ヤーノシュ、)、ドイツ名:ヨハネス・ルートヴィヒ・フォン・ノイマン、John von Neumann, Margittai Neumann János Lajos, Johannes Ludwig von Neumann, 1903年12月28日 - 1957年2月8日)はハンガリー出身のアメリカ合衆国の数学者。20世紀科学史における最重要人物の一人。数学・物理学・工学・計算機科学・経済学・気象学・心理学・政治学に影響を与えた。第二次世界大戦中の原子爆弾開発や、その後の核政策への関与でも知られる。.
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公理
公理(こうり、axiom)とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された(形式的な)言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明(絶対的)な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.
公理的集合論
公理的集合論(こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory)とは、公理化された集合論のことである。.
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集合論
集合論(しゅうごうろん、set theory, théorie des ensembles, Mengenlehre)は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。 通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。(論理や述語論理とともに)集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に(無定義語の)「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。 集合論における基本的な操作には、あたえられた集合のべき集合や直積集合をとる、などがある。また二つの集合の元同士の関係(二項関係)を通じて定義される順序関係や写像などの概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では二つの集合はそれぞれの集合の元の間に全単射が存在するとき濃度が等しいという。そこで集合を濃度の等しさによって類別した各々の同値類のことを濃度という。この定義では濃度は真のクラスになってしまうので、濃度そのものを集合論的な対象として取り扱い難い。選択公理を仮定すると任意の集合は整列可能であることが導かれる。整列集合の順序型を順序同型で類別した各々の同値類と定義してしまうと、それは真のクラスとなってしまう。幸いなことに任意の整列集合は順序数と呼ばれる特別な集合(を帰属関係で順序付けしたもの)と順序同型となる。そのためそれら順序数を整列集合の順序型と定義することができる。また順序数全体 \mathrm(これは真のクラスになる)もまた整列順序付けられている。以上のもとで、集合の濃度を と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はを参照。.
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ペアノの公理と数学基礎論の間の比較
数学基礎論が44を有しているペアノの公理は、31の関係を有しています。 彼らは一般的な5で持っているように、ジャカード指数は6.67%です = 5 / (31 + 44)。
参考文献
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