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ベッチ数とモース理論

ショートカット: 違い類似点ジャカード類似性係数参考文献

ベッチ数とモース理論の違い

ベッチ数 vs. モース理論

代数的位相幾何学において、ベッチ数 (Betti numbers) は、位相空間に対する不変量であり、自然数に値をもつ。 右の図のようなトーラスを考える。このトーラスに切り口が円周になるように切れ込みをいれたとき、その結果二つのピースに分かれない切り方が、穴のまわりにそって一周する方法と、縦に切断する方法の二通りある。このことからトーラスの 1 次ベッチ数は 2 である。直感的な言葉を使うと、ベッチ数は様々な次元の「穴」の数である。例えば、円の 1 次ベッチ数は 1であり、一般的なプレツェル(pretzel)の場合は、1 次ベッチ数は穴の数の 2 倍となる。 ベッチ数は、今日、数学のみならず計算機科学やデジタル画像などの分野でも研究されている。 「ベッチ数」ということばは、エンリコ・ベッチ (Enrico Betti) にちなみ、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) により命名された。. 微分トポロジーにおいて、モース理論(モースりろん、Morse theory)は、多様体上の微分可能函数を研究することにより、多様体の位相的性質の分析を可能とする。 (Marston Morse) の基本的な見方に従うと、多様体上の典型的な微分可能函数はその位相的性質を極めて直接的に反映する。モース理論は、多様体上のやを見つけたり、多様体のホモロジーの本質的な情報をもたらす。 モース以前は、アーサー・ケイリー (Arthur Cayley) とジェームズ・クラーク・マクスウェル (James Clerk Maxwell) がの脈絡で、モース理論のいくつかのアイデアを考え出した。モースの元来の応用は、測地線の理論(経路上のエネルギー汎函数の臨界点への応用であった。これらのテクニックは、ラウル・ボット (Raoul Bott) のの証明に使われた。 モース理論の複素多様体での類似が、ピカール・レフシェッツ理論である。.

ベッチ数とモース理論間の類似点

ベッチ数とモース理論は(ユニオンペディアに)共通で5ものを持っています: トーラスホモロジー (数学)エドワード・ウィッテンオイラー標数臨界点 (数学)

トーラス

初等幾何学におけるトーラス(torus, 複数形: tori)、円環面、輪環面は、円周を回転して得られる回転面である。 いくつかの文脈では、二つの単位円周の直積集合 (に適当な構造を入れたもの)を「トーラス」と定義する。特に、位相幾何学における「トーラス」は、直積位相を備えた に同相な図形の総称として用いられ、 の(コンパクト二次元多様体)として特徴づけられる。このようなトーラスは三次元ユークリッド空間 に位相的に埋め込めるが、各生成円をそれぞれ別の平面 に埋め込んで、それら埋め込みを保つような直積空間としての「トーラス」をユークリッド空間に埋め込むことは では不可能で、 で考える必要がある。これは と呼ばれる、四次元空間内の曲面を成す。 混同すべきでない関連の深い図形として、トーラスに囲まれた領域(三次元図形)すなわち「中身の詰まったトーラス」(solid torus) を、トーラス体、輪環体、円環体などと(対してもとのトーラスをトーラス面 (toroid) と)呼ぶこともある。また、中身の詰まったトーラスを単に「トーラス」(toroid) と呼ぶ場合があるので注意が必要である。また、同様に「円環」などと呼ばれる別の図形アニュラス(annulus、環帯)とも混同してはならない。.

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ホモロジー (数学)

数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) (「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来)は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。 位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱えるものといえるだろう。.

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エドワード・ウィッテン

ドワード・ウィッテン(Edward Witten, 1951年8月26日 - )は超弦理論においてM理論を提唱した理論物理学者。現在はプリンストン高等研究所教授。 メリーランド州ボルチモア生まれ。父親は一般相対性理論の研究者で元シンシナティ大学教授のルイス・ウィッテン。当初はジャーナリストを志望し、ブランダイス大学時代は歴史学や言語学を専攻。米国雑誌『The Nation』や『THE NEW REPUBLIC』に寄稿する他、1972年の大統領選で大敗したジョージ・マクガヴァンの選挙運動に携わった。 ウィスコンシン大学マディソン校大学院で経済学を専攻するが中退し、1973年にプリンストン大学大学院で応用数学を専攻。後に物理学に移り、デビッド・グロスの下で1976年に博士号を取得した。 その後ハーヴァード大学のフェローなどを経て、1980年から1987年までプリンストン大学物理学科の教授を務めた。1995年に南カリフォルニア大学で開かれたスーパーストリング理論国際会議で、仮説M理論を発表し学会に衝撃を与える。1990年、数学に関する最高権威を有するフィールズ賞を受賞。 ネーサン・サイバーグとは友人で共同研究者。米制作ドキュメンタリー「美しき大宇宙」(原題:The Elegant Universe)に出演している。.

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オイラー標数

イラー標数(オイラーひょうすう、)とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラーが多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。オイラー数と呼ばれることもあるが、オイラー数は別の意味で使われることも多い。.

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臨界点 (数学)

数学において,あるいはの可微分関数の臨界点(りんかいてん,critical point)あるいは(ていりゅうてん,stationary point)とは,微分が 0 あるいは未定義となる定義域内の任意の値である.に対して,臨界点はすべての偏微分が 0 になるような定義域内の値である.関数の臨界点における値は臨界値(りんかいち,critical value)である. この概念の興味は,関数が極値をとる点は臨界点であるという事実にある. この定義は と の間の可微分写像に拡張し,臨界点はこの場合ヤコビ行列の階数が最大でない点である.さらに,可微分多様体の間の可微分写像にも同様に拡張される.この場合,臨界点は とも呼ばれる. 特に, が陰方程式 で定義される平面曲線のとき, 軸に平行な 軸への射影の臨界点は の接線が 軸に平行な点,つまり,\frac(x,y).

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上記のリストは以下の質問に答えます

ベッチ数とモース理論の間の比較

モース理論が41を有しているベッチ数は、33の関係を有しています。 彼らは一般的な5で持っているように、ジャカード指数は6.76%です = 5 / (33 + 41)。

参考文献

この記事では、ベッチ数とモース理論との関係を示しています。情報が抽出された各記事にアクセスするには、次のURLをご覧ください:

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