ブラウザよりも高速アクセス！ベクトル空間と対称群間の類似点
ベクトル空間と対称群は（ユニオンペディアに）共通で23ものを持っています: 基底 (線型代数学)、単射、可算集合、可換体、同型写像、交換法則、リー群、ドーヴァー出版、シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア、写像、写像の合成、全単射、元 (数学)、線型写像、群作用、群論、環上の加群、表現論、行列式、複素数、量子力学、核 (代数学)、濃度 (数学)。
基底 (線型代数学)
線型代数学における基底（きてい、basis）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。 ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。.
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単射
数学において、単射あるいは単写（たんしゃ、injective function, injection）とは、その値域に属する元はすべてその定義域の元の像として唯一通りに表されるような写像のことをいう。一対一（いったいいち、）の写像ともいう。似ているが一対一対応は全単射の意味で使われるので注意が必要である。.
可算集合
可算集合（かさんしゅうごう、countable set 又は denumerable set）もしくは可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。 有限集合も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を可算無限集合と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて高々可算の集合と呼ぶ。可算でない無限集合を非可算集合という。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、カントールによって初めて示された。.
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可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロワ理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は（ゼロ除算を除いて）除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.
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同型写像
数学において，同型写像（isomorphismfrom the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape"）あるいは単に同型とは，は準同型写像あるいは射であって，逆射を持つものである逆関数ではない．．2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは，それらの間に同型写像が存在することをいう．自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である．同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある．したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい． 群や環を含むほとんどの代数的構造に対して，準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である． 位相幾何学において，射とは連続写像のことであるが，同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる．解析学において，射は可微分関数であり，同型写像は微分同相とも呼ばれる． 標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなである．2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは，それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう．例えば，有限次元ベクトル空間 から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である．一方， は双対空間に同型であるが，一般には標準的にではない． 同型写像は圏論を用いて形式化される．ある圏の射 が同型射であるとは，両側逆射を持つことをいう，すなわち，その圏における別の射 があって， かつ となる，ただし と はそれぞれ と の恒等射である．.
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交換法則
交換法則（こうかんほうそく、Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則（かかんそく）や交換律（こうかんりつ）ともいう。.
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リー群
リー群（リーぐん、Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.
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ドーヴァー出版
ドーヴァー出版（英:Dover Publications）は、アメリカの出版社。本社はニューヨーク市にある。1941年設立。 元の出版元で絶版になった本の再出版で有名である。再出版する書籍にはパブリックドメインのものも多い。歴史的に意義深く質の高い本を丈夫な製本と安い値段で提供する方針のもとに、現在までに9,000タイトル以上の書籍を出版している。 古典文学、クラシック音楽の楽譜、18-19世紀の図版の再出版が特に有名である。また、学生から一般読者向けの数学・科学関連書籍や、軍事史、アメリカ史、奇術、チェスなど特定の分野の本の出版もしている。 著作権使用料無料（royalty-free）のデザイン・イラスト集を多く出版しており、画集的なものから、そのままコピーして使う素材集まで存在する。題材は19世紀以前のイラスト、アールヌーボーの意匠、伝統的な民族文様など多様である。CD-ROM付きのシリーズもある。コンピューター関連メディア企業オライリー社の初期の書籍表紙の動物の絵は、ドーヴァー出版の19世紀の版画図版から採用されたものである。.
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シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア
ュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア（Springer Science+Business Media, Springer）は、科学（Science）、技術（Technology、工学など）、医学（Medicine）、すなわちSTM関連の書籍、電子書籍、査読済みジャーナルを出版するグローバル企業である。シュプリンガーはまた、"SpringerLink"（「シュプリンガー・リンク」） 、"SpringerProtocols"（「」） 、"SpringerImages"（「シュプリンガー・イメージ」） 、"SpringerMaterials"（「シュプリンガー・マテリアル」） などいくつかの科学データベース・サービスのホスティングも行っている。 出版物には、参考図書（Reference works、レ（リ）ファレンス・ワークス）、教科書、モノグラフ（Monograph）、（Proceedings）、叢書など多数が含まれる。また、シュプリンガー・リンクには45,000以上のタイトルが自然科学など13の主題・テーマで集められており、それらは電子書籍として利用可能である。シュプリンガーはSTM分野の書籍に関しては世界最大の出版規模を持ち、ジャーナルでは世界第2位である（第1位はエルゼビア）。 多数のインプリントや、20ヶ国に約55の発行所（パブリッシング・ハウス）、5,000人以上の従業員を抱え、毎年約2,000のジャーナル、7,000以上の新書（これにはSTM分野だけではなく、B2B分野のものも含まれる）を発刊している。シュプリンガーはベルリン、ハイデルベルク、ドルトレヒト、ニューヨークに主要オフィスを構える。近年成長著しいアジア市場のために、アジア地域本部を香港に置いており、2005年8月からは北京に代表部を設置している 。 2015年5月、シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディアとマクミラン・サイエンス・アンド・エデュケーションの大半の事業の合併が、欧州連合や米国司法省などの主要な公正競争監視機関により承認された。新会社の名称は「シュプリンガー・ネイチャー（Springer Nature）」。.
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写像
写像（しゃぞう、mapping, map）とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数（関数）、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。 ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価函数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。.
写像の合成
数学において写像あるいは函数の合成（ごうせい、composition）とは、ある写像を施した結果に再び別の写像を施すことである。 たとえば、時刻 t における飛行機の高度を h(t) とし、高度 x における酸素濃度を c(x) で表せば、この二つの函数の合成函数 (c ∘ h)(t).
全単射
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が全単射の良い例である。 全単射であることを一対一上への写像 (one-to-one onto mapping)あるいは一対一対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。 写像 f が全単射のとき、fは可逆であるともいう。.
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元 (数学)
数学において元（げん、element）とは、集合を構成する個々の数学的対象のことである。ジュゼッペ・ペアノの導入した記法に従えば、対象 が集合 の元であることを と書き表す。このとき対象 が集合 に属する（ぞくする、membership）、あるいは集合 は対象 を含むとも言う。 「属する」という二項関係は、数学的対象と集合（あるいは一般にクラス）との間に定まる非対称な関係（帰属関係）である。外延性の公理により、集合はそれに属する全ての数学的対象を指定することで特徴づけられる。 通常用いられる においては基礎の公理が述べるところによって帰属関係は整礎、すなわち任意の集合は自身を元として含むことはない（帰属関係は反対称関係である）。しかし、基礎の公理の代わりにを置くではそのような制約を受けないが存在し得る。 帰属関係は推移的でない。これは集合の包含関係がそうであることと対照的である。.
線型写像
数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、linear operator）と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、linear form, one-form; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる一次の微分形式（一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。.
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群作用
数学における群作用（ぐんさよう、group action）は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。.
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群論
群論（ぐんろん、group theory）とは、群を研究する学問。 群の概念は抽象代数学における中心的な概念。 環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。 群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。 線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。 特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。 結晶や、水素原子などの構造の多くは、対称性の群(symmetry group)で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。 1960年代～80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀の数学の最も重要な業績の一つ。.
環上の加群
抽象代数学における環上の加群（かぐん、module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。 任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。 加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。.
表現論
表現論（ひょうげんろん、representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することにより研究し、代数構造上の加群を研究する数学の一分野である。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象は、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が群の要素が行列の積により正則行列で表現されている。 Classic texts on representation theory include and.
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行列式
数学における行列式（ぎょうれつしき、）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。.
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複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
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量子力学
量子力学（りょうしりきがく、quantum mechanics）は、一般相対性理論と同じく現代物理学の根幹を成す理論として知られ、主として分子や原子、あるいはそれを構成する電子など、微視的な物理現象を記述する力学である。 量子力学自身は前述のミクロな系における力学を記述する理論だが、取り扱う系をそうしたミクロな系の集まりとして解析することによって、ニュートン力学に代表される古典論では説明が困難であった巨視的な現象についても記述することができる。たとえば量子統計力学はそのような応用例の一つである。従って、生物や宇宙のようなあらゆる自然現象もその記述の対象となり得る。 代表的な量子力学の理論として、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始された、シュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスクアル・ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある。ただしこの二つは数学的に等価である。 基礎科学として重要で、現代の様々な科学や技術に必須な分野である。 たとえば科学分野について、太陽表面の黒点が磁石になっている現象は、量子力学によって初めて解明された。 技術分野について、半導体を利用する電子機器の設計など、微細な領域に関するテクノロジーのほとんどは量子力学を基礎として成り立っている。そのため量子力学の適用範囲の広さと現代生活への影響の大きさは非常に大きなものとなっている。一例として、パソコンや携帯電話、レーザーの発振器などは量子力学の応用で開発されている。工学において、電子工学や超伝導は量子力学を基礎として展開している。.
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核 (代数学)
数学において、準同型の核（かく、kernel）とは、その準同型の単射からのずれの度合いを測る道具である。代数系における準同型の核が "自明" (trivial) であることとその準同型が単射であることとが同値となる。.
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濃度 (数学)
数学、とくに集合論において、濃度（のうど）あるいは基数（きすう）（cardinal number, cardinality, power）とは、集合の「元の個数」という概念を拡張したものである。有限集合については、濃度は「元の個数」の同意語に過ぎない。。。.
上記のリストは以下の質問に答えます
- 何ベクトル空間と対称群ことは共通しています
- 何がベクトル空間と対称群間の類似点があります
ベクトル空間と対称群の間の比較
対称群が76を有しているベクトル空間は、303の関係を有しています。 彼らは一般的な23で持っているように、ジャカード指数は6.07%です = 23 / (303 + 76)。
参考文献
この記事では、ベクトル空間と対称群との関係を示しています。情報が抽出された各記事にアクセスするには、次のURLをご覧ください:
