パラドックスと公理的集合論

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パラドックスと公理的集合論の違い

パラドックス vs. 公理的集合論

パラドックス（）とは、正しそうに見える前提と、妥当に見える推論から、受け入れがたい結論が得られる事を指す言葉である。逆説、背理、逆理とも言われる。. 公理的集合論（こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory）とは、公理化された集合論のことである。.

ラッセルのパラドックス

ラッセルのパラドックス（Russell's paradox）とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に表れる。これは1903年に出版されたフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（Grundgesetze der Arithmetik II）の後書きに収録されている。同じパラドックスはツェルメロが1年先に発見していたが、彼はその発見を公開せず、ヒルベルトやフッサールなどのゲッティンゲン大学の同僚たちだけに知られているだけだった。 ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた。.

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リシャールのパラドックス

リシャールのパラドックス（リシャールの逆説、Richard's paradox）はパラドックスのひとつ。 0から1までの実数をひとつ明確に定義する日本語の文をリシャール文と呼ぶことにし、このようなリシャール文を全て並べることを考える。 日本語の文字種は明らかに有限であるから、有限のあらゆる正の自然数 n に対して、字数 n のリシャール文は高々有限個(しばしば 0 個)存在する。 よって、リシャール文をその字数の順に、字数が同じもの同士は辞書順に並べることにすれば、あらゆるリシャール文を一列に並べて、自然数で番号付けができるはずである。 さて、次の文によってある実数を定義する: この文は 0 から 1 までの実数をひとつ明確に定義しているのでリシャール文のひとつである。 このリシャール文の番号を Q とすると、この文によって定義される実数の小数第 Q 位の数は第 Q 番目のリシャール文によって定義される実数の小数第 Q 位の数、つまり自分自身と異なっていなければならない。 これは矛盾である。 なお 誤ってベリーのパラドックスがリシャールのパラドックスとして紹介されることがある。.

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ブラリ＝フォルティのパラドックス

ブラリ＝フォルティのパラドックス(Burali-Forti paradox)とは、数学の集合論におけるパラドックスの一つであり、「全ての順序数の集合」という概念を素朴に導入すると矛盾が起こるという主張。即ちそのような存在を許す体系は自己矛盾していることを示す。.

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公理

公理（こうり、axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された（形式的な）言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明（絶対的）な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.

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集合

数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。.

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