ド・ジッター空間とローレンツ群

ショートカット: 違い、類似点、ジャカード類似性係数、参考文献。

ド・ジッター空間とローレンツ群の違い

ド・ジッター空間 vs. ローレンツ群

数学や物理学において、ド・ジッター空間 (de Sitter space) は、通常のユークリッド空間の球面の、ミンコフスキー空間あるいは時空における類似物である。n 次元ド・ジッター空間は dSn と書き、（標準のリーマン計量を持つ）''n'' 次元球面のローレンツ多様体での類似である。この空間は、最大の対称性を持ち、正の定曲率を持ち、3 以上の n に対し、単連結である。ド・ジッター空間は反ド・ジッター空間と同様に、ライデン大学の天文学の教授で、ライデン天文台の天文台長であったウィレム・ド・ジッター (Willem de Sitter) (1872–1934) の名前に因んでいる。ウィレム・ド・ジッターとアルベルト・アインシュタイン (Albert Einstein) は、1920年代にライデンで、宇宙の時空の構造について研究を共にした。 一般相対論のことばでは、ド・ジッター空間は最大対称性を持ち、（正の真空エネルギー密度と負の圧力に対応する）正（反発力）の宇宙定数 \Lambda を持つアインシュタイン場の方程式の(vacuum solution)である。（ 3つの空間次元と 1つの時間次元）では、ド・ジッター空間は物理的な宇宙の天文学的なモデルである。ド・ジッター宇宙(de Sitter universe)を参照。 ド・ジッター空間はウィレム・ド・ジッターにより、また同時に、独立してトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ (Tullio Levi-Civita) により発見された。 さらに最近は、ド・ジッター空間がミンコフスキー空間を使うというよりも、特殊相対論の設定として考えられるようになった。その理由は、(group contraction)は、ド・ジッター空間の等長変換群をポアンカレ群へと還元し、(semi-simple group)というよりも単純群の中へ、時空変換部分群やポアンカレ群のローレンツ変換部分群を統一することを可能とする。この特殊相対論の定式化を(de Sitter relativity)と呼ぶ。 n, is the Lorentzian manifold analog of an ''n''-sphere (with its canonical Riemannian metric); it is maximally symmetric, has constant positive curvature, and is simply connected for n at least 3. ヘンドリック・アントーン・ローレンツ (1853–1928)  物理学および数学において、ローレンツ群 (Lorentz group) は、（重力を除いた）全ての古典的な設定における物理現象を説明する基礎となる、ミンコフスキー時空上の全てのローレンツ変換が成す群である。ローレンツ群の名前はオランダ人物理学者ヘンドリック・ローレンツに因む。 ローレンツ変換の下では、次の法則および等式が不変に保たれる。.

単連結空間

連結であるが、穴のまわりを1周するループを考えればわかるように単連結ではない。穴を全てふさげば単連結となる。 位相幾何学における単連結空間（たんれんけつくうかん、simply connected space）とは、任意のループを連続的に1点に収縮できるような弧状連結空間のことである。.

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双曲面

数学における双曲面（そうきょくめん、Hyperboloid）は、二次曲面の一種で、三次元空間内の曲面として あるいは によって記述される。楕円双曲面 (elliptical hyperboloid) とも呼ぶ。a.

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ミンコフスキー空間

ミンコフスキー空間（ミンコフスキーくうかん、Minkowski space）とは、非退化で対称な双線型形式を持つ実ベクトル空間である。ドイツの数学者のヘルマン・ミンコフスキーに因んで名付けられている。アルベルト・アインシュタインによる特殊相対性理論を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では空間に時間を組み合わせた時空を表現するため、物理学の文脈ではミンコフスキー時空とも呼ばれる。.

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ポアンカレ群

ポアンカレ群（ポアンカレぐん、Poincaré group）とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元のノンコンパクトリー群である。.

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ローレンツ変換

ーレンツ変換（ローレンツへんかん、Lorentz transformation）は、2 つの慣性系の間の座標（時間座標と空間座標）を結びつける線形変換で、電磁気学と古典力学間の矛盾を回避するために、アイルランドのジョセフ・ラーモア（1897年）とオランダのヘンドリック・ローレンツ（1899年、1904年）により提案された。 アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論（1905年）を構築したときには、慣性系間に許される変換公式として、理論の基礎を形成した。特殊相対性理論では全ての慣性系は同等なので、物理法則はローレンツ変換に対して不変な形、すなわち同じ変換性をもつ量の間のテンソル方程式として与えられなければならない。このことをローレンツ不変性(共変性)をもつという。 幾何学的には、ミンコフスキー空間における 2 点間の世界間隔を不変に保つような、原点を中心にした回転変換を表す（ミンコフスキー空間でみたローレンツ変換節参照）。.

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ド・ジッター宇宙

ド・ジッター宇宙（ド・ジッターうちゅう、De Sitter universe）とは、ウィレム・ド・ジッターが解いたアルベルト・アインシュタインの一般相対性理論の重力場方程式の三つの解のうちの一つの解であり、密度と圧力がともにゼロで、宇宙項が正の値をとる宇宙である。この解はド・ジッターの名をとってド・ジッター宇宙と呼ばれるようになった。 この模型では、宇宙は空間的に平坦であり、普通の物質を無視し、そして宇宙の力学は宇宙定数により支配されている。この宇宙定数はダークエネルギーに相当すると考えられている。.

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キリングベクトル場

リングベクトル場(Killing vector field)（時々、キリング場(Killing fieldとも呼ばれる）は、(Wilhelm Killing)の名前に因んだ名称で、計量を保存するリーマン多様体や擬リーマン多様体上のベクトル場であり、計量テンソルを保存する。キリング場は、等長(isometry)なリー群に付随するリー代数の無限小生成子である。すなわち、キリング場により生成されるフロー (幾何学)(flow)であり、多様体の(continuous isometries)写像である。さらに単純化すると、フローは、各々の点をキリングベクトル場の方法へ同じ距離にある対象上の各々の点を動かすことが、距離を曲げないという意味の対称性を生成する。.

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等長写像

数学、とくに幾何学において等長写像（とうちょうしゃぞう）または等距離写像（とうきょりしゃぞう）とは、"長さ" を変えない（距離を保つ、distance preserving）写像のことである。全単射であるものに限って等長写像 (isometry) という場合もある。.

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物理学

物理学（ぶつりがく, ）は、自然科学の一分野である。自然界に見られる現象には、人間の恣意的な解釈に依らない普遍的な法則があると考え、自然界の現象とその性質を、物質とその間に働く相互作用によって理解すること（力学的理解）、および物質をより基本的な要素に還元して理解すること（原子論的理解）を目的とする。化学、生物学、地学などほかの自然科学に比べ数学との親和性が非常に強い。 古代ギリシアの自然学 にその源があり, という言葉も、元々は自然についての一般的な知識の追求を意味しており、天体現象から生物現象までを含む幅広い概念だった。現在の物理現象のみを追求する として自然哲学から独立した意味を持つようになったのは19世紀からである。 物理学の古典的な研究分野は、物体の運動、光と色彩、音響、電気と磁気、熱、波動、天体の諸現象（物理現象）である。.

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特殊相対性理論

特殊相対性理論（とくしゅそうたいせいりろん、Spezielle Relativitätstheorie、Special relativity）とは、慣性運動する観測者が電磁気学的現象および力学的現象をどのように観測するかを記述する、物理学上の理論である。アルベルト・アインシュタインが1905年に発表した論文に端を発する。特殊相対論と呼ばれる事もある。.

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計量テンソル

計量テンソル（けいりょうテンソル、metric tensor）は、リーマン幾何学において、空間内の距離と角度を定義する、階数（）が2のテンソルである。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（）と呼ばれることもある。 ひとたび、ある座標系 が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、 として表記され、各成分は と表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。 点 から までの曲線の長さは、 をパラメータとして、 と定義される。2つの接ベクトル（）U.

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数学

数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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