チャーン・サイモンズ理論と接続形式間の類似点
チャーン・サイモンズ理論と接続形式は(ユニオンペディアに)共通で7ものを持っています: 主束、微分幾何学、リー群、ド・ラームコホモロジー、ゲージ理論、接続 (主束)、曲率形式。
主束
数学において、主束(しゅそく、principal bundle)は、枠束を抽象化した概念である。 ここで枠束(frame bundle)とは、ファイバー束であって、任意の一点上のファイバー(繊維)が、あるベクトル空間における並び順の付いた基底全体の集合からなるものである。 主束は、構造群と呼ばれるある与えられた群 G により、ファイバーが G の主等質空間(英:principal homogeneous space)(G が自由かつ推移的に作用する集合のこと。G-トルソ(英:G-torsor)ともいう)になるものとして特徴付けられる。 これは、一般枠束におけるベクトル空間の全基底に対する一般線型群の作用を一般化したものである。 さらに、主 G 束(しゅ G そく、principal G-bundle)とは、ファイバー束であって、全てのファイバーが位相群 G の群の作用により主等質空間になるものをいう。 主 G 束は、群 G が束の構造群にもなるという意味で、G 束である。 主束は、位相幾何学および微分幾何学で重要な応用を有する。 主束は物理においても、ゲージ理論の根本的枠組みの一部を構成するという応用を見出した。 構造群 G を有するすべてのファイバー束は、一意に主 G 束を決定し、この主束により元の束が再構成できるという意味で、主束は、ファイバー束の理論に統一的枠組みを与える。.
微分幾何学
数学における微分幾何学(びぶんきかがく、ドイツ語: Differentialgeometrie、英語:differential geometry)とは微分を用いた幾何学の研究である。また、可微分多様体上の微分可能な関数を取り扱う数学の分野は微分位相幾何学(びぶんいそうきかがく、ドイツ語: Differentialtopologie、英語: differential topology)とよばれることがある。微分方程式の研究から自然に発生したこれらの分野は互いに密接に関連しており、特に一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある。これらは可微分多様体についての幾何学を構成しているが、力学系の視点からも直接に研究される。.
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リー群
リー群(リーぐん、Lie group)は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.
ド・ラームコホモロジー
ド・ラームコホモロジー(de Rham cohomology)とは可微分多様体のひとつの不変量で、多様体上の微分形式を用いて定まるベクトル空間である。多様体の位相不変量である特異コホモロジーとド・ラームコホモロジーは同型になるというド・ラームの定理がある。.
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ゲージ理論
ージ理論(ゲージりろん、gauge theory)とは、連続的な局所変換の下でラグランジアンが不変となるような系を扱う場の理論である。.
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接続 (主束)
数学における接続(せつぞく)とは、多様体上に定められた様々なファイバー束について、ファイバーの間の平行移動を与える微分方程式的な概念である。この項では特にリー群を構造群とする主束の接続について解説する。 主束の接続を決めることは、束の全空間の接空間のなかで構造群の作用によって不変な「水平な方向」を定めること同じである。したがって、主束の接続はシャルル・エーレスマンによって導入された エーレスマン接続の特別なものと見なすことができる。 主束上に接続が与えられると、構造群の線形表現に付随するベクトル束に対してベクトル束の接続・共変微分を誘導することができる。また、リーマン多様体のレヴィ・チビタ接続など多くの幾何学的に重要な概念が主束の接続として定式化されている。.
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曲率形式
微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式の曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。.
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チャーン・サイモンズ理論と接続形式の間の比較
接続形式が54を有しているチャーン・サイモンズ理論は、78の関係を有しています。 彼らは一般的な7で持っているように、ジャカード指数は5.30%です = 7 / (78 + 54)。
参考文献
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