ゲオルク・カントールと論理学

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ゲオルク・カントールと論理学の違い

ゲオルク・カントール vs. 論理学

ルク・カントール ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845年3月3日 - 1918年1月6日）は、ドイツで活躍した数学者。. 論理学（ろんりがく、）とは、「論理」を成り立たせる論証の構成やその体系を研究する学問である。.

クルト・ゲーデル

ルト・ゲーデル（Kurt Gödel, 1906年4月28日 - 1978年1月14日）は、オーストリア・ハンガリー二重帝国（現チェコ）のブルノ生まれの数学者・論理学者である。業績には、完全性定理及び不完全性定理、連続体仮説に関する研究が知られる。.

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ゴットロープ・フレーゲ

フリードリヒ・ルートヴィヒ・ゴットロープ・フレーゲ（Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848年11月8日 - 1925年7月26日）は、ドイツの哲学者、論理学者、数学者であり、現代の数理論理学、分析哲学の祖にあたる。 フレーゲはバルト海に面したドイツの港町ヴィスマールの生まれである。母のアウグステ・ビアロブロツキーはポーランド系である。彼ははじめイェーナ大学で学び、その後ゲッティンゲン大学に移り1873年に博士号を取得した。その後イェーナに戻り、1896年から数学教授。1925年に死去した。.

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自然数

自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。.

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集合論

集合論（しゅうごうろん、set theory, théorie des ensembles, Mengenlehre）は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。 通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。（論理や述語論理とともに）集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に（無定義語の）「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。 集合論における基本的な操作には、あたえられた集合のべき集合や直積集合をとる、などがある。また二つの集合の元同士の関係（二項関係）を通じて定義される順序関係や写像などの概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では二つの集合はそれぞれの集合の元の間に全単射が存在するとき濃度が等しいという。そこで集合を濃度の等しさによって類別した各々の同値類のことを濃度という。この定義では濃度は真のクラスになってしまうので、濃度そのものを集合論的な対象として取り扱い難い。選択公理を仮定すると任意の集合は整列可能であることが導かれる。整列集合の順序型を順序同型で類別した各々の同値類と定義してしまうと、それは真のクラスとなってしまう。幸いなことに任意の整列集合は順序数と呼ばれる特別な集合（を帰属関係で順序付けしたもの）と順序同型となる。そのためそれら順序数を整列集合の順序型と定義することができる。また順序数全体 \mathrm（これは真のクラスになる）もまた整列順序付けられている。以上のもとで、集合の濃度を と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はを参照。.

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