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キリング形式とリー代数

ショートカット: 違い類似点ジャカード類似性係数参考文献

キリング形式とリー代数の違い

キリング形式 vs. リー代数

数学において、 (Wilhelm Killing) の名に因むキリング形式 (Killing form) とは、リー群とリー環の理論において基本的な役割を果たす対称双線型形式である。. 数学において、リー代数、もしくはリー環日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、後述の Lie ring はより一般的な概念である。本項ではこの2つの用語を区別して用いる。は、「リー括弧積」(リーブラケット、Lie bracket)と呼ばれる非結合的な乗法 を備えたベクトル空間である。 の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算がであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群がによる違いを除いて一意的に存在する()。このによってリー群をリー代数によって研究することができる。.

キリング形式とリー代数間の類似点

キリング形式とリー代数は(ユニオンペディアに)共通で12ものを持っています: 半単純リー代数単純リー群可換体対称双線型形式リー代数の随伴表現リー群冪零リー環特殊ユニタリ群特殊線型群跡 (線型代数学)退化形式数学

半単純リー代数

数学においてリー代数が半単純であるとは単純リー代数(自分自身と0以外にイデアルを持たないような非可換リー代数)の直和となる事をいう。 この記事内では特に注意しない限り \mathfrak g を標数0の体上の有限次元リー代数とする。以下の条件は全て同値である。.

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単純リー群

群論において、単純リー群 (simple Lie group) は連結非可換リー群 G であって非自明な連結正規部分群を持たないものである。 単純リー環 (simple Lie algebra) は非可換リー環であってイデアルが 0 と自身しかないものである。単純リー環の直和は半単純リー環と呼ばれる。 単純リー群の同値な定義がから従う:連結リー群はリー環が単純であれば単純である。重要な技術的点は、単純リー群は離散的な正規部分群を含むかもしれず、したがって単純リー群であることは抽象群として単純であることとは異なるということである。 単純リー群は多くのを含む。古典型リー群は球面幾何学、射影幾何学、フェリックス・クラインのエルランゲンプログラムの意味で関連する幾何学の群論的支柱を提供する。どんなよく知られた幾何学にも対応しない可能性もいくつか存在することが単純リー群のの過程で現れた。これらの例外群 (exceptional group) により数学の他の分野や当時の理論物理学の多くの特別な例や configuration が説明される。 単純リー群の概念は公理的観点からは十分であるが、の理論のようなリー理論の応用において、幾分一般的な概念である半単純および簡約リー群がもっと有用であることが証明されている。とくに、すべての連結は簡約であり、一般の簡約群の表現の研究は表現論の主要な分野である。.

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可換体

抽象代数学において、可換体(かかんたい、corps commutatif)あるいは単に体(たい、field)本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。(ガロワ理論を含む)体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は(ゼロ除算を除いて)除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.

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対称双線型形式

線型代数学における対称双線型形式(たいしょうそうせんけいけいしき、symmetric bilinear form, symmetric bilinear functional)は、ベクトル空間上の対称な双線型形式を言う。平たく言えば、実ベクトル空間上の標準内積を一般化した概念である。対称双線型形式は、直交極性や二次曲面の研究に非常に重要である。 文脈上、双線型形式について述べていると明らかな場合は、単に短く対称形式と呼ぶこともある。対称双線型形式は二次形式と近しい関係にあり、この両者の差異に関する詳細はの項目を参照。.

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リー代数の随伴表現

リー代数の随伴表現(リーだいすうのずいはんひょうげん、adjoint representation of a Lie algebra)とは、リー代数 \mathfrak の交換子を用いて定義されるリー代数から \mathfrak(\mathfrak) への準同型写像のことをいう。.

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リー群

リー群(リーぐん、Lie group)は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.

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冪零リー環

数学において、冪零リー環(べきれいリーかん、nilpotent Lie algebra)とはリー環のクラスの1つである。この記事では、線型空間やリー環は全て体 上有限次元のものとする。.

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特殊ユニタリ群

次の特殊ユニタリ群(とくしゅユニタリぐん、special unitary group) とは、行列式が1の 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。 特殊ユニタリ群 はユニタリ群 の部分群であり、さらに一般線型群 の部分群である。 特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ=サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。.

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特殊線型群

数学において、 体 上の次数 の特殊線型群(とくしゅせんけいぐん、special linear group)とは、 行列式が である 次正方行列のなす集合に、通常の行列の積と逆行列の演算が入った群である。この群は、行列式 の核として得られる、一般線型群 の正規部分群である。 ここで は の乗法群(つまり、 から を除いた集合)を表す。 特殊線型群の元は「特殊な」もの、つまりある多項式が定める一般線型群の部分代数多様体、である(行列式は多項式であることに注意)。.

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跡 (線型代数学)

数学、特に線型代数学における行列の跡(せき、trace; トレース、Spur; シュプール)あるいは対角和(たいかくわ)は行列の主対角成分の総和である。それは基底変換に関して不変であり、また固有値の総和(固有値和)に等しい。即ち、行列の跡は行列の相似を除いて定まり、したがって一般に行列に対応する線型写像の跡として定義することができる。 行列の跡は、正方行列に対してのみ定義されることに注意せよ。この語は(この同じ数学的対象を意味する)ドイツ語のSpurからの翻訳借用である。.

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退化形式

数学、とくに線型代数学において、ベクトル空間 V 上の退化 (degenerate) 双線型形式 f(x, y) とは、V から V*(V の双対空間)への v \mapsto (x \mapsto f(x,v)) で与えられる写像が同型でないような双線型形式である。V が有限次元のときの同値な定義はそれが非自明な核をもつということである、すなわち V の 0 でない元 x が存在して、 となる。.

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数学

数学(すうがく、μαθηματικά, mathematica, math)は、量(数)、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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上記のリストは以下の質問に答えます

キリング形式とリー代数の間の比較

リー代数が99を有しているキリング形式は、21の関係を有しています。 彼らは一般的な12で持っているように、ジャカード指数は10.00%です = 12 / (21 + 99)。

参考文献

この記事では、キリング形式とリー代数との関係を示しています。情報が抽出された各記事にアクセスするには、次のURLをご覧ください:

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