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25 関係: 多項式階層、多項式時間変換、対称差、差集合、乱択アルゴリズム、和集合、共通部分 (数学)、充足可能性問題、回路計算量、BPP (計算複雑性理論)、BQP、確率的チューリング機械、神託機械、非決定性チューリングマシン、複雑性クラス、計算複雑性理論、論理回路、量子コンピュータ、NP、NP完全問題、PH (計算複雑性理論)、PSPACE、Sharp-P、決定問題、戸田誠之助。
多項式階層
多項式階層（たこうしきかいそう、Polynomial hierarchy）は、計算量理論における計算量の階層であり、神託機械を使って '''P'''、NP、co-'''NP''' を一般化させて定義されるものである。.
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多項式時間変換
多項式時間変換（たこうしきじかんへんかん、polynomial-time reduction）は計算量理論の一概念である。多項式時間帰着（たこうしきじかんきちゃく）、多項式時間還元（たこうしきじかんかんげん）ともいう。幾つか種類があるが、内容的に多対一還元であれば、「多項式時間多対一還元」「Karp 還元」などとも呼ばれる。もし内容がチューリング還元であれば、「多項式時間チューリング還元」「Cook 還元」などと呼ばれる。.
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対称差
数学において、2 つの集合 と との対称差（たいしょうさ、symmetric difference）とは、“ に属し、 に属さないもの” と “ に属し、 に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である。一般に、集合 と との対称差を、記号 などで表す。例えば、 と との対称差は に等しい： 。 任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 を算法としてアーベル群となる。空集合 はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 を加法とし共通部分 を乗法とするとき、となる。.
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差集合
差集合（さしゅうごう、set difference）とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる集合のことである。特に、全体集合 を固定して、 からその部分集合 の要素を取り去って得られる集合を の補集合という。.
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乱択アルゴリズム
乱択アルゴリズム（らんたくアルゴリズム、Randomized algorithm、ランダム・アルゴリズム）または確率的アルゴリズム（かくりつてき-、Probabilistic algorithm）は、その論理の一部に無作為性を導入したアルゴリズムである。通常のアルゴリズムでは自然数を順番にあてはめるような決定的な部分で、乱数による非決定的な選択を入れることで、「平均的に」よい性能を実現することを目的としている。形式的には、乱択アルゴリズムの性能はランダムビット列で決定される確率変数となる。その期待値を「期待実行時間; expected runtime」と呼ぶ。最悪の場合に関して「無視できる」ほどに低い確率であることが、一般に、この類のアルゴリズムが効果的である要件となる。.
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和集合
数学において、集合族の和集合（わしゅうごう）、あるいは合併集合（がっぺいしゅうごう）、合併（がっぺい、）、あるいは演算的に集合の和（わ、sum）、もしくは'''結び'''（むすび、）とは、集合の集まり（集合族）に対して、それらの集合のいずれか少なくとも一つに含まれているような要素を全て集めることにより得られる集合のことである。.
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共通部分 (数学)
数学において、集合族の共通部分（きょうつうぶぶん、intersection）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。共通集合（きょうつうしゅうごう）、交叉（こうさ、交差）、交わり（まじわり、）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）、などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。.
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充足可能性問題
充足可能性問題（じゅうそくかのうせいもんだい、satisfiability problem, SAT）は、一つの命題論理式が与えられたとき、それに含まれる変数の値を偽 (False) あるいは真 (True) にうまく定めることによって全体の値を'真'にできるか、という問題をいう。SATisfiabilityの頭3文字を取ってしばしば「SAT」と呼ばれる。.
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回路計算量
回路計算量（英: Circuit complexity）とは、計算複雑性理論において、ブール関数をその計算に要する計算資源の量によって分類することを指す。回路計算量では、それらの資源量は論理回路の大きさや深さで表される。.
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BPP (計算複雑性理論)
計算複雑性理論において、BPPとは、確率的チューリングマシンによって、誤り確率が高々1/3で多項式時間で解ける決定問題の複雑性クラスである。Bounded-error Probabilistic Polynomial timeの頭文字をとったものである。 ある問題がBPPに属するなら、コイントスなどによるランダムな決定を許す多項式時間で実行可能なアルゴリズムが存在する。そのアルゴリズムは、解がYESのときもNOのときも最大で1/3の確率で間違った答えを返す。 定義の1/3というのは、0以上1/2未満の間の入力と独立な定数で任意である。そして、その定数が変化しても、BPPは変化しない。 これは、そのアルゴリズムを複数回実行したとき、解の多数派が誤りであることが指数関数的に減少することによる。 この性質は複数回アルゴリズムを実行し、解の多数決をとることにより、高い精度のアルゴリズムを作る事を可能にする。.
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BQP
計算複雑性理論において、BQPとは、量子コンピュータによって誤り確率が高々1/3で多項式時間で解ける決定問題の複雑性クラスである。Bounded-error Quantum Polynomial time の頭文字をとったものである。ある問題がBQPに属すなら、高い確率で正答を返し、多項式時間で実行可能な、量子コンピュータのためのアルゴリズムが存在する。そのアルゴリズムは解がYESのときもNOのときも最大で1/3の確率で間違った答えを返す。 '''BPP'''と同じように、定義の1/3というのは0以上1/2未満の任意の定数である。その定数が変化してもBQPは変化しない。.
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確率的チューリング機械
率的チューリング機械（かくりつてきチューリングきかい、Probabilistic Turing machine）は、計算可能性理論において、各時点で何らかの確率分布に従って状態遷移をランダムに選択する非決定性チューリング機械の一種である。 各遷移の確率がいずれも等しければ、決定性チューリング機械にその文字セット（一般に '1' と '0'）についてそれぞれの文字を等確率で書く "write" 命令を持たせたものと定義できる。また、決定性チューリング機械に追加のテープとしてランダムなビット列が延々と書かれているものを追加したものと考えることもできる。 結果として、確率的チューリング機械は確率論的な結果を生み出す。同じ入力と命令状態であっても、実行するたびに結果が変わり、場合によっては停止しないこともある。つまり、確率的チューリング機械は、同じ入力であっても実行する毎にその入力を受理したりしなかったりする。 従って、確率的チューリング機械での文字列の受理/不受理は、通常とは異なった形で定義される。この定義の違いによって、様々な多項式時間の確率的な複雑性クラスが生じる。例えば、'''RP'''、Co-RP、'''BPP'''、ZPP などである。制約を多項式時間ではなく対数領域とした場合は、LP、Co-RL、BPL、ZPL がある。また、両方を制約を課した場合は、RLP、Co-RPL、BPLP、ZPLP がある。 確率的計算は対話型証明系の多くのクラスの定義においても重要である。この場合、検査機構（verifier）は全能の証明機構（prover）にだまされないためにランダム性を必要とする。例えば、IPクラスは PSPACE に等しいが、検査機構でのランダム性を排除すると NP と等しくなってしまう。PSPACE と NP の関係は正確には未だ確定していないが、おそらく NP の方が小さいと考えられている。 計算複雑性理論の課題の1つとして、「ランダム性は計算能力を向上させるか?」という問題がある。つまり、確率的チューリング機械で多項式時間で解ける問題があるとき、それが決定性チューリング機械では多項式時間で解けないと言えるだろうか? それとも、決定性チューリング機械で確率的チューリング機械をシミュレートして、高々多項式程度の低速化で問題を解けるだろうか? 現在、多くの研究者は後者（P.
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神託機械
託機械（しんたくきかい、oracle machine）または預言機械（よげんきかい）は、計算複雑性理論や計算可能性理論における抽象機械の一種であり、決定問題の研究で使われる。チューリングマシンに神託（oracle）と呼ばれるブラックボックスが付加されたものであり、そのブラックボックスは特定の決定問題を1ステップで決定可能である。チューリングマシンの停止問題のような決定不能な問題にも神託機械を想定することができる。.
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非決定性チューリングマシン
非決定性チューリング機械（ひけっていせいチューリングきかい、Non-deterministic Turing machine, NTM）は、理論計算機科学において、非決定性有限オートマトンのように働く制御機構を持つチューリング機械である。.
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複雑性クラス
複雑性クラス（ふくざつせいクラス、Complexity class）は、計算複雑性理論において関連する複雑性の問題の集合を指す。典型的な複雑性クラスは以下のように定義される。 例えば、クラスNPは非決定性チューリングマシンで多項式時間で解く事が出来る決定問題の集合である。また、クラスPSPACEはチューリングマシンで多項式領域で解く事が出来る決定問題の集合である。一部の複雑性クラスは函数問題の集合である（例えば'''FP'''）。 数理論理学では表現の必要に応じて多数の複雑性クラスが定義される（記述計算量）。 ブラムの公理を使うと、完全な計算模型を参照しなくとも複雑性クラスを定義できる。.
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計算複雑性理論
計算複雑性理論（けいさんふくざつせいりろん、computational complexity theory）とは、計算機科学における計算理論の一分野であり、アルゴリズムのスケーラビリティや、特定の計算問題の解法の複雑性（計算問題の困難さ）などを数学的に扱う。計算量理論、計算の複雑さの理論、計算複雑度の理論ともいう。.
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論理回路
論理回路（ろんりかいろ、logic circuit）は、論理演算を行う電気回路及び電子回路である。真理値の「真」と「偽」、あるいは二進法の「0」と「1」を、電圧の正負や高低、電流の方向や多少、位相の差異、パルスなどの時間の長短、などで表現し、論理素子などで論理演算を実装する。電圧の高低で表現する場合それぞれを「」「」等という。基本的な演算を実装する論理ゲートがあり、それらを組み合わせて複雑な動作をする回路を構成する。状態を持たない組み合わせ回路と状態を持つ順序回路に分けられる。論理演算の結果には、「真」、「偽」の他に「不定」がある。ラッチ回路のdon't care, フリップフロップ回路の禁止が相当する。 ここでの論理は離散(digital)であるためディジタル回路を用いる。論理演算を行うアナログ回路、「アナログ論理」を扱う回路（どちらも「アナログ論理回路」）もある。 多値論理回路も量子コンピュータで注目されている。 電気（電子）的でないもの（たとえば流体素子や光コンピューティングを参照）もある。 以下では離散なデジタル回路を扱う。.
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量子コンピュータ
量子コンピュータ （りょうしコンピュータ、英語：quantum computer） は、量子力学的な重ね合わせを用いて並列性を実現するとされるコンピュータ。従来のコンピュータの論理ゲートに代えて、「量子ゲート」を用いて量子計算を行う原理のものについて研究がさかんであるが、他の方式についても研究・開発は行われている。 いわゆる電子式など従来の一般的なコンピュータ（以下「古典コンピュータ」）の素子は、情報について、「0か1」などなんらかの2値をあらわすいずれかの状態しか持ち得ない「ビット」で扱う。量子コンピュータは「量子ビット」 (qubit; quantum bit、キュービット) により、重ね合わせ状態によって情報を扱う。 n量子ビットがあれば、2^nの状態を同時に計算できる。もし、数千qubitのハードウェアが実現した場合、この量子ビットを複数利用して、量子コンピュータは古典コンピュータでは実現し得ない規模の並列コンピューティングが実現する。2^以下）で数千年かかっても解けないような計算でも、例えば数十秒といった短い時間でこなすことができる、とされている。--> 量子コンピュータの能力については、計算理論上の議論と、実際に実現されつつある現実の機械についての議論がある。#計算能力の節を参照。.
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NP
NPは、複雑性クラスのひとつで、Non-deterministic Polynomial time（非決定性多項式時間）の略である（「Non-P」ないしは「Not-P」ではない）。.
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NP完全問題
NP完全（な）問題（エヌピーかんぜん（な）もんだい、NP-complete problem）とは、(1) クラスNP（Non-deterministic Polynomial）に属する決定問題（言語）で、かつ (2) 任意のクラスNPに属する問題から多項式時間還元（帰着）可能なもののことである。条件 (2) を満たす場合は、問題の定義が条件 (1) を満たさない場合にも、NP困難な問題とよびその計算量的な困難性を特徴づけている。多項式時間還元の推移性から、クラスNPに属する問題で、ある一つのNP完全問題から多項式時間還元可能なものも、またNP完全である。現在発見されているNP完全問題の証明の多くはこの推移性によって充足可能性問題などから導かれている。充足可能性問題がNP完全であることは1971年、スティーブン・クック（Stephen Cook (1971).
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PH (計算複雑性理論)
計算複雑性理論における複雑性クラス PH とは、多項式階層にある全ての複雑性クラスの和集合である。次のように表される。 PH は Larry Stockmeyer が最初に定義した。これを包含するクラスとして、PPP（'''PP'''をオラクルとして持つ神託機械で多項式時間で解ける問題のクラス）、P#P（戸田の定理による）、PSPACE がある。 PH の論理的な特徴付けはごく単純。つまり、二階述語論理で可能な全ての言明の集合である。 PH は PSPACE に含まれる既知の複雑性クラスのほとんどを包含している。特に P、NP、co-NP が含まれる。また、確率的なクラスである BPP や RP も包含している。 P.
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PSPACE
PSPACE とは計算複雑性理論における複雑性クラスの一つ、Polynomial SPACE の略である。.
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Sharp-P
計算複雑性理論において、複雑性クラス ♯P とは、NP に属する決定問題に対応した数え上げ問題の集合である。多くの複雑性クラスとは異なり、決定問題のクラスではなく、函数問題のクラスである。 NP 問題は多くの場合「ある制約を満足する解は存在するか?」という形式である。例えば、次のようなものがある。.
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決定問題
決定問題（けっていもんだい、decision problem）とは、各入力に対して受理か拒絶かのうち片方を出力する形式の問題をいう。判定問題とも呼ばれる。形式的には、文字列全体の集合\ ^*、あるいは\ ^*の部分集合から\への写像である。 たとえば、ある命題論理式を充足する真理値割り当てがあるかないか（充足可能性問題）、与えられた自然数が素数か否か（素数判定問題）、といったものがある。これに対し、受理か拒絶かだけでなく真理値割り当てや素因数分解の結果といったものの出力を要求する問題は函数問題（function problem）と呼ばれる。 決定問題は、数学的に定式化しやすく、かつ出力に関わる時間を考慮しなくてよいことから、計算理論でよく使われる。.
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戸田誠之助
戸田 誠之助（とだ せいのすけ、1959年1月15日 - ）は、日本の情報工学者。日本大学文理学部情報科学科教授（2016年4月現在）。多項式階層と複雑性クラス#Pの関係 ("PP is as hard as the polynomial-time hierarchy," SIAM J. Computing 20 (1991), 865-877.) に関する研究で、極東初の1998年ゲーデル賞を受賞。.
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