IEEE 754と浮動小数点数

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IEEE 754と浮動小数点数の違い

IEEE 754 vs. 浮動小数点数

IEEE 754（あいとりぷるいー754、IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic: 直訳すると「浮動小数点数算術標準」）は、浮動小数点数の計算で最も広く採用されている標準規格であり、多くのプロセッサなどのハードウェア、またソフトウェア（コンピュータ・プログラム）に実装されている。多くのコンピュータ・プログラミング言語ないしその処理系でも、浮動小数点数処理の一部または全部が IEEE 754 になっている。IEEE 754 が制定される前に成立したC言語などは、仕様上はIEEE 754 が必須となっていないものの、IEEE 754対応の演算命令を使える環境下では、それをそのまま利用して浮動小数点数演算を実装することが多い。一方で、JavaやC#など、言語仕様として IEEE 754 を必須としているものもある。 21世紀に入った後に改定され、2008年8月に制定された IEEE 754-2008 がある。これには、1985年の IEEE 754 制定当初の規格であるIEEE 754-1985、ならびに基数非依存の浮動小数点演算の標準規格 IEEE 854-1987 の両者がほぼすべて吸収されている。IEEE 754-2008 は正式に制定されるまでは、IEEE 754rと呼ばれた。 正式な規格名は、IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-2008)である。ISO/IEEEのPSDO（パートナー標準化機関）合意文書に基づき、JTC1/SC 25 を通して国際規格 ISO/IEC/IEEE 60559:2011 として採用され、公表されている。 この標準規格は以下のことを定義している。. 浮動小数点数（ふどうしょうすうてんすう、英: floating point number）は、浮動小数点方式による数のことで、もっぱらコンピュータの数値表現において、それぞれ固定長の仮数部と指数部を持つ、数値の表現法により表現された数である。.

単精度浮動小数点数

情報処理において、単精度浮動小数点数 (Single precision floating point number) は、コンピュータの数値表現の一種である。 浮動小数点形式の標準であるIEEE 754では、単精度は32ビット（4オクテット）、倍精度は64ビット（8オクテット）である。IEEE 754-2008 では単精度の形式は正式には binary32 と呼ばれている。「単」や「倍」という表現は32ビットを1ワードとする32ビットアーキテクチャを基にしている。 単精度浮動小数点数は、同じ幅の固定小数点数に比べてより広範囲な数値を表せるようになっているが、同時に精度を犠牲にしている。 C言語、C++、C#、Java、Haskellでは単精度のデータ型を float と呼び、Pascal、MATLABなどでは single と呼ぶ。3.2以前のOctaveでは single という名前だが倍精度である。Pythonの float も倍精度である。.

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二進化十進表現

二進化十進数 (BCD、Binary-coded decimal) とは、コンピュータにおける数値の表現方式の一つで、十進法の1桁を、0から9までを表す二進法の4桁で表したものである。「二進化十進符号」などとも呼ばれる。3増し符号など同じ目的の他の方式や、より一般的に、十進3桁を10ビットで表現するDensely packed decimalなども含めることもある。.

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二進法

二進法（にしんほう）とは、2 を底（てい、基（base）とも）とし、底の冪の和で数を表現する方法である。 英語でバイナリ (binary) という。binaryという語には「二進法」の他に「二個一組」「二個単位」といったような語義もある（例: バイナリ空間分割）。.

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仮数

指数 (exponent) を使って数値を表す浮動小数点数 仮数（かすう）とは、浮動小数点数の一部で、有効数字を構成する部分である。英語では 、、 などと呼ぶ（後述）。指数の表現によって、整数で表される場合もあるし、小数で表される場合もある。.

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プログラミング言語

プログラミング言語（プログラミングげんご、programming language）とは、コンピュータプログラムを記述するための形式言語である。なお、コンピュータ以外にもプログラマブルなものがあることを考慮するならば、この記事で扱っている内容については、「コンピュータプログラミング言語」（computer programming language）に限定されている。.

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ビット

ビット (bit, b) は、ほとんどのデジタルコンピュータが扱うデータの最小単位。英語の binary digit （2進数字）の略であり、2進数の1けたのこと。量子情報科学においては古典ビットと呼ばれる。 1ビットを用いて2通りの状態を表現できる（二元符号）。これらの2状態は一般に"0"、"1"と表記される。 情報理論における選択情報およびエントロピーの単位も「ビット」と呼んでいるが、これらの単位は「シャノン」とも呼ばれる（詳細は情報量を参照）。 省略記法として、バイトの略記である大文字の B と区別するために、小文字の b と表記する。.

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−0

-0（マイナスゼロ）、あるいは負のゼロとは、数値のゼロにマイナスの符号をつけたものである。 通常の算術では、負のゼロは単なるゼロ（及び正のゼロ、+0）と同じであるが、これらを分ける方が望ましい場合や、分けて扱わざるを得ない場合がある。 そのようなケースとして、以下のものがある.

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コプロセッサ

プロセッサ（co-processor, 補助プロセッサ）とは、CPU（中央処理（プロセッシング）ユニット）などの主要なプロセッサに対して、ハードウェアアクセラレーション等を目的とする、補助的なプロセッサ、という意味である。計算用プロセッサなどでは、そちらのほうが計算力は大きいこともある。「コ・プロセッサ」のようにナカグロを入れることもある。"co-"は（co-pilot（副操縦士）他多くの用例があるが）「共同して」などという意味の接頭辞。.

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端数処理

端数処理（はすうしょり）または丸め（まるめ）とは、与えられた数値を、ある一定の丸め幅の整数倍の数値に置き換えることである。常用的には、10の累乗（…、100、10、1、0.1、0.01、…）が丸め幅とされることが多い。.

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無限

無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。 直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。このことから、しばしば哲学、論理学や自然科学などの一部の分野において考察の対象として無限という概念が取り上げられ、そして深い考察が得られている。 本項では、数学などの学問分野において、無限がどのように捉えられ、どのように扱われるのかを記述する。.

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非正規化数

非正規化数（ひせいきかすう、Denormalized Number）または非正規数（ひせいきすう、Denormal Number）は、浮動小数点方式において「正規化」して表現できないような、0にごく近い、絶対値が極端に小さい数の表現法により表現された数である。英語では Subnormal Number とも。たとえばC言語の倍精度（double）の場合、float.h により DBL_MIN という名前に定義される最小の正規化数よりも絶対値が小さい(つまりゼロに近い)。.

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IEEE

IEEE（アイ・トリプル・イー、The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc.）は、アメリカ合衆国に本部を持つ電気工学・電子工学技術の学会である。.

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NaN

NaN（Not a Number、非数、ナン）は、コンピュータにおいて、主に浮動小数点演算の結果として、不正なオペランドを与えられたために生じた結果を表す値またはシンボルである。NaNの体系的仕様は、無限大の表現などと共に1985年の IEEE 754 浮動小数点規格で標準が与えられている。 NaNには quiet NaN と signaling NaN の2種類がある。quiet NaN は不正な操作や不正な値で生じる誤りを伝播させるのに使用され、signaling NaN は数値計算との混合や基本的な浮動小数点演算への他の拡張といった高度な機能のサポートに使える。例えば結果が実数の範囲内でないゼロ除算において、ゼロ以外のゼロ除算は無限大だが、ゼロのゼロ除算は NaN である。負数の平方根は虚数となるため、浮動小数点数としては表現できず、NaN で表現される。他に、正負の無限大の両方が絡んだために、どちらの無限大ともできないような計算の結果も NaN である。また、NaN は計算上必要な値が得られていない場合にも使われることがあるBowman, Kenneth (2006) An introduction to programming with IDL: Interactive Data Language.

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整数

数学における整数（せいすう、integer, whole number, Ganze Zahl, nombre entier, número entero）は、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, 4, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, −4, …) の総称である。 整数は数直線上の格子点として視覚化される 整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の \mathbb Z で表す。これはドイツ語 Zahlen（「数」の意・複数形）に由来する。 抽象代数学、特に代数的整数論では、しばしば「代数体の整数環」の元という意味で代数的整数あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が代数体の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「有理数の中で整なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を有理整数 (rational integer) と呼ぶことがある接頭辞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。。.

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