2.5次元とハウスドルフ次元

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2.5次元とハウスドルフ次元の違い

2.5次元 vs. ハウスドルフ次元

2.5次元（にてんごじげん）は、物体の3次元的形状を、1つの方向から見える範囲で表したもの。2次元と3次元の中間という意味でこう呼ばれる。ただし、端数の0.5という値に正確な意味合いがあるわけではない。物体の裏側や内部に関する情報がないことで、3次元と区別される。 通常、2次元データに追加情報を付加した形で表される。奥行きを追加した距離画像が代表的だが、他にも法線ベクトルの向きを追加した法線マップなどがある。2次元座標に奥行き（高さ）情報を付加することを、掃引という。 建築・機械の設計などでは、人体・動物などのモデリングのように複雑な形状などを必要としない場合がある。こうした分野で用いられるCADソフトウェアには、2.5次元によって立体物を扱えるものが多い。 地理情報システム（GIS)の分野では、等高線で扱える起伏をもった地形を2.5次元という。トンネルやオーバーハングは扱えない。. 点のハウスドルフ次元は0であり、直線のハウスドルフ次元は1、正方形のハウスドルフ次元は2、そして立方体のハウスドルフ次元は3である。コッホ曲線のようなフラクタル図形のハウスドルフ次元は、非整数になりうる。 フラクタル幾何学におけるハウスドルフ次元（ハウスドルフじげん、Hausdroff dimension）は、1918年に数学者フェリックス・ハウスドルフが導入した、が有限な値をとり消えていないという条件に適合する次元の概念の非整数値をとる一般化である。すなわち、きちんとした数学的定式化のもと、点のハウスドルフ次元は 、線分のハウスドルフ次元は 、正方形のハウスドルフ次元は 、立方体のハウスドルフ次元は である。つまり、旧来の幾何学で扱われるような、滑らかあるいは有限個の頂点を持つ点集合として定義される図形のハウスドルフ次元は、その位相的な次元に一致する整数である。しかし同じ定式化のもとで、フラクタルを含めたやや単純さの少ない図形に対してもハウスドルフ次元を計算することが許されるが、その次元は非整数値を取りうる。大幅な技術的進展がによりもたらされて高度に不規則な集合に対する次元の計算が可能となったことから、この次元の概念はハウスドルフ–ベシコヴィッチ次元としても広く知られている。 初等幾何学で用いられる通常のジョルダン測度（あるいはルベーグ測度）に関して、例えば正方形が二次元であるということは、その三次元より高次のジョルダン測度（つまり、体積および高次元体積）が であり、二次元ジョルダン測度（面積）が正の値を持つ（さらに一次元および零次元のジョルダン測度は形式的に となる）ということを本質的に表している。-次元実内積空間 の -次元ジョルダン測度は、部分集合 に対して、 の球体による充填近似が定める内測度と、球体被覆による近似の定める外測度の一致するとき、その一致する値として定義されるのであった（あるいはルベーグ測度は外測度のみを利用して構成される）が、（定数因子の違いを除けば）-次元ジョルダン測度は一次元ジョルダン測度（長さ）の 個の直積と本質的に同じであり、-次元球（あるいは立方体）の -次元体積は本質的に半径の -乗である。ハウスドルフ次元は、これらの事実を抽象化して、台となる空間を一般の距離空間とし、部分集合の一次元ハウスドルフ測度を距離球体被覆による近似の下限として定まる外測度、また非整数値の に対する -次元距離球体のハウスドルフ測度を一次元測度の -乗（の適当な定数倍）となるように定める。ジョルダン測度の場合と同じく、部分集合 の -次元ハウスドルフ測度は次元 が大きければほとんどすべてに対して零であり、零でなくなるようなギリギリ小さい値として のハウスドルフ次元を定めるのである。 ハウスドルフ次元は、ボックスカウンティング次元（）のより単純だがふつうは同値な後継である。.

フラクタル

フラクタル（, fractal）は、フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念である。ラテン語 fractus から。 図形の部分と全体が自己相似になっているものなどをいう。.

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相似次元

似次元（そうじじげん、similarity dimension）は、図形の自己相似性に注目した次元の定義である。人工的な自己相似図形に対して次元を求める場合に用いる。人工的な自己相似図形以外の図形（実際の自然界に存在する図形など）に対しても相似次元の概念を適用できるように定義を拡張した次元として、容量次元がある。.

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整数

数学における整数（せいすう、integer, whole number, Ganze Zahl, nombre entier, número entero）は、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, 4, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, −4, …) の総称である。 整数は数直線上の格子点として視覚化される 整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の \mathbb Z で表す。これはドイツ語 Zahlen（「数」の意・複数形）に由来する。 抽象代数学、特に代数的整数論では、しばしば「代数体の整数環」の元という意味で代数的整数あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が代数体の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「有理数の中で整なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を有理整数 (rational integer) と呼ぶことがある接頭辞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。。.

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