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Well-formed formula

索引 Well-formed formula

数理論理学において well-formed formula(wff、整式などとも)とは、形式言語といったような概念が広まる以前に、"formula" を単なる「記号を任意の順序に並べたもの」であるとして、それらのうち、数式などとして意味をなすような記号列を特に区別したものである。形式言語の考え方が広まるにつれ、そもそも意味のある数式などは何らかのルールに従って導出されるもので、それ以外の、任意の順序に並べたようなものは最初から議論の対象外として扱われるのが普通となった。.

30 関係: 原子論理式古典論理妥当性存在記号定理帰納的集合一階述語論理形式体系形式言語ペアノの公理バッカス・ナウア記法プログラミング言語ドーヴァー出版ニューヨーク命題論理オッカムの剃刀ケンブリッジ大学出版局ゲーデル、エッシャー、バッハ再帰的定義非古典論理解釈証明論理演算議論領域量化自由変数と束縛変数Java演算子の優先順位数式数理論理学

原子論理式

原子論理式(atomic formula)または素論理式(そろんりしき)は、それを構成する部分論理式を持たない論理式である。何をもって原子論理式とするかは論理体系による。たとえば命題論理における原子論理式は命題変数である。 原子論理式は論理システムにおける最も単純な論理式である。整論理式はまず全ての原子論理式を示し、次に整論理式から整論理式を形成するルールを与えるという帰納的な方法によって定義される(再帰的定義)。複数の原子論理式から構成される論理式を複合論理式という。 例として命題論理に関する整論理式の定義を示す.

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古典論理

古典論理(こてんろんり, classical logic)は形式論理の部類で、最も研究され最も広く使われている論理である。標準論理(standard logic)とも呼ばれる。.

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妥当性

妥当性(Validity)は、演繹的論証が持つ論理的特性であるが、一般に任意の文に対して使われる(ここでいう文とは、真か偽かという真理値を持つものをいう)。ここでは、論証を文の集まりとし、そのうちの1つの文が結論で残りは前提であるとする。前提とは、結論が(おそらく)真であると示す根拠である。 論証の結論が「確かに」真であるとされている場合、その論証は演繹的である。結論が「おそらく」真であるとされている論証は帰納的であると言われる。ある論証が妥当であるとは、結論が正しく前提から導き出されることを意味する。すなわち、妥当な演繹的論証であれば、真の前提から偽の結論が導き出されることはあり得ない。(一方、前提に偽がある場合には、真・偽どちらの結論も導き出されうる。) 次のような定義が一般的である。.

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存在記号

存在記号(そんざいきごう、existential quantifier)とは、数理論理学(特に述語論理)において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常「∃」と表記され、存在量化子(そんざいりょうかし)、存在限量子(そんざいげんりょうし)、存在限定子(そんざいげんていし)などとも呼ばれる。 これとは対照的に全称記号は、何かが常に真であることを示す。.

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定理

定理(ていり、theorem)とは、数理論理学および数学において、証明された真なる命題をいう。 文脈によっては公理も定理に含む。また、数学においては論説における役割等から、補題(ほだい、lemma)あるいは補助定理(ほじょていり、helping theorem)、系(けい、corollary)、命題(めいだい、proposition)などとも呼ばれることがある。ここでの「命題」と冒頭文に言う命題とは意味が異なることに注意。 一般的に定理は、まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている。例えば、次は代数学の基本定理の述べ方の1つである。 ある一定の条件(公理系)下で定理を述べそれを証明すること、というのが数学という分野の中心的な研究の形態である。 数学の多くの分野には、各々「基本定理」という名で呼ばれる中心的な定理が存在している。なお定理という名称と証明という手続きは、数学のみならず、物理や工学においても使用される。.

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帰納的集合

指示関数が帰納的関数となるような集合を帰納的集合(きのうてきしゅうごう)という。 たとえば、素数の集合は、帰納的集合である。一方で停止性問題(実行すると停止するプログラムと入力の組の集合)は帰納的でない。.

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一階述語論理

一階述語論理(いっかいじゅつごろんり、first-order predicate logic)とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理(にかいじゅつごろんり、second-order predicate logic)と呼ぶ。それにさらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理(こうかいじゅつごろんり、higher-order predicate logic)という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細は「二階述語論理」「高階述語論理」を参照。.

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形式体系

形式体系(けいしきたいけい、Formal System)は、数学のモデルに基づいた任意の well-defined な抽象思考体系と定義される。エウクレイデスの『原論』は史上初の形式体系とされることが多く、形式体系の特徴をよく表している。その論理的基盤による体系の命題と帰結の関係(論理包含)は、他の抽象モデルを何らかの基盤とする体系から形式体系を区別するものである。形式体系は大きな理論や分野(例えばユークリッド幾何学)の基盤またはそのものとなることが多く、現代数学では証明論やモデル理論などと同義に扱われる。ただし形式体系は必ずしも数学的である必然性はなく、例えばスピノザの『エチカ』はエウクレイデスの『原論』の形式を模倣した哲学(倫理学)書である。 形式体系には形式言語があり、その形式言語は基本的な記号(シンボル)で構成される。形式言語の文(式)は公理群を出発点として、所定の構成規則(推論規則)に従って発展する。従って形式体系は基本的な記号群の有限の組み合わせを通して構築された任意個の数式で構成され、その組み合わせは公理群と構成規則群から作り出される。 数学における形式体系は以下の要素から構成される.

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形式言語

形式言語(けいしきげんご、formal language)は、その文法(構文、統語論)が、場合によっては意味(意味論)も、形式的に与えられている(形式体系を参照)言語である。形式的でないために、しばしば曖昧さが曖昧なまま残されたり、話者集団という不特定多数によってうつろいゆくような自然言語のそれに対して、一部の人工言語や、いわゆる機械可読な(機械可読目録を参照)ドキュメント類などは形式言語である。この記事では形式的な統語論すなわち構文の形式的な定義と形式文法について述べる。形式的な意味論については形式意味論の記事を参照。.

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ペアノの公理

ペアノの公理(ペアノのこうり、Peano axioms) とは、自然数全体を公理化したものである。1891年に、ジュゼッペ・ペアノによって定義された。.

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バッカス・ナウア記法

バッカス・ナウア記法(Backus-Naur form)とは、文脈自由文法を定義するのに用いられるメタ言語のことで、一般にBNFやBN記法と略される。現在はこのBNFを拡張したEBNF (Extended BNF) が一般的に使われている。EBNFでは正規表現を用いてより簡単に記述でき、プロトコル規定言語であるASN.1や、XMLの構文定義にも利用されている。 ジョン・バッカスとピーター・ナウアがALGOL 60 の文法定義のために考案。当初は文脈自由文法の本来の定義に則り or(|)以外の定義はなく、繰り返しは再帰を利用して表現されている。*、?等を含む正規表現はBNFを拡張したEBNFによって導入された。パーサジェネレータを使用して構文解析器を生成する際に、構文を定義するためにも使う。 ISO/IEC 14977:1996においてEBNFの標準が定義されているが、EBNFにもいろいろな亜種や変種がある。例えば、RFC2234にはABNFという変種が定義されている。しかし、ABNFは標準のEBNFとかなり異なる部分がある。.

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プログラミング言語

プログラミング言語(プログラミングげんご、programming language)とは、コンピュータプログラムを記述するための形式言語である。なお、コンピュータ以外にもプログラマブルなものがあることを考慮するならば、この記事で扱っている内容については、「コンピュータプログラミング言語」(computer programming language)に限定されている。.

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ドーヴァー出版

ドーヴァー出版(英:Dover Publications)は、アメリカの出版社。本社はニューヨーク市にある。1941年設立。 元の出版元で絶版になった本の再出版で有名である。再出版する書籍にはパブリックドメインのものも多い。歴史的に意義深く質の高い本を丈夫な製本と安い値段で提供する方針のもとに、現在までに9,000タイトル以上の書籍を出版している。 古典文学、クラシック音楽の楽譜、18-19世紀の図版の再出版が特に有名である。また、学生から一般読者向けの数学・科学関連書籍や、軍事史、アメリカ史、奇術、チェスなど特定の分野の本の出版もしている。 著作権使用料無料(royalty-free)のデザイン・イラスト集を多く出版しており、画集的なものから、そのままコピーして使う素材集まで存在する。題材は19世紀以前のイラスト、アールヌーボーの意匠、伝統的な民族文様など多様である。CD-ROM付きのシリーズもある。コンピューター関連メディア企業オライリー社の初期の書籍表紙の動物の絵は、ドーヴァー出版の19世紀の版画図版から採用されたものである。.

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ニューヨーク

ニューヨーク市(New York City)は、アメリカ合衆国ニューヨーク州にある都市。 1790年以来、同国最大の都市であり、市域人口は800万人を超え、都市圏人口では定義にもよるが2000万人以上である.

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命題論理

命題論理(propositional logic)とは、数理論理学(記号論理学)の基礎的な一部門であり、命題全体を1つの記号に置き換えて単純化し、論理演算を表す記号(論理記号・論理演算子)を用いて、その命題(記号)間の結合パターンを表現・研究・把握することを目的とした分野のこと。ブール論理はブール代数で形式化され2値の意味論を与えられた命題論理とみることができる。 命題を1つの記号で大まかに置き換える命題論理に対して、命題の述語(P)と主語(S)を、関数のF(x)のように別記号で表現し、更に量化子で主語(S)の数・量・範囲もいくらか表現し分けることを可能にした、すなわちより詳細に命題の内部構造を表現できるようにしたものを、述語論理と呼ぶ。.

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オッカムの剃刀

ッカムの剃刀(オッカムのかみそり、Occam's razor、Ockham's razor)とは、「ある事柄を説明するためには、必要以上に多くを仮定するべきでない」とする指針。もともとスコラ哲学にあり、14世紀の哲学者・神学者のオッカムが多用したことで有名になった。様々なバリエーションがあるが、20世紀にはその妥当性を巡って科学界で議論が生じた。「剃刀」という言葉は、説明に不要な存在を切り落とすことを比喩しており、そのためオッカムの剃刀は思考節約の原理や思考節約の法則、思考経済の法則とも呼ばれる。またケチの原理と呼ばれることもある。.

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ケンブリッジ大学出版局

ンブリッジ大学出版局(Cambridge University Press)は、ケンブリッジ大学の出版事業を手がける出版社である。1534年、ヘンリー8世により特許状が発せられたのを起こりとする世界最古の出版社、かつ世界第2の規模の大学出版局であり、聖書や学術誌の出版も手掛けている。 「出版活動を通して、大学の理念である全世界における学問、知識、研究の促進を推し進めること」を使命として掲げている。これは、ケンブリッジ大学規約中の「Statute J」に規定されている。そして、「公益のため継続的に出版活動を行い、ケンブリッジという名前の評価を高めること」を目的としている。 ケンブリッジ大学出版局は、学術、教育分野の書籍の出版を行なっており、ヨーロッパ、中東、アフリカ、アメリカ、アジア太平洋といった地域で事業を展開している。世界中に50以上の事業所を持ち、2000人近くの従業員を抱え、4万以上のタイトルの書籍を発行している。その種類は、専門書、教科書、研究論文、参考書、 300近くに及ぶ学術誌、聖書、祈祷書、英語教育教材、教育ソフト、電子出版など、多岐にわたる。.

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ゲーデル、エッシャー、バッハ

『ゲーデル、エッシャー、バッハ - あるいは不思議の環』(ダグラス・ホフスタッター著、野崎昭弘、はやしはじめ、柳瀬尚紀 訳、原題は Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid)は、1979年に米国で刊行された一般向けの科学書。単に GEB とも呼ばれる。(邦題では『ゲーデル,エッシャー,バッハ』と「,」が使われる) 1985年に白揚社から日本語訳が発行され、1980年代後半から90年代前半にかけて日本でも小ブームが起きた。1980年ピューリッツァー賞受賞。.

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再帰的定義

再帰的定義(Recursive Definition)は、再帰的な定義、すなわち、あるものを定義するにあたってそれ自身を定義に含むものを言う。無限後退を避けるため、定義に含まれる「それ自身」はよく定義されていなければならない。同義語として帰納的定義(Inductive Definition)がある。.

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非古典論理

非古典論理(ひこてんろんり、non-classical logic(s))は、古典論理におけるいくつかの仮定を否定、もしくは置き換えることによって構築された論理、あるいは、古典論理における仮定をすべて認めた上で新たな仮定を付け加えることによって構築された論理の総称である。.

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解釈

解釈(かいしゃく、ἑρμηνεία (hermeneia)、interpretatio、Auslegung、Interpretation)は、主として以下のような意味で用いられる。.

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証明

証明(しょうめい)とは、ある事柄が真理もしくは事実であることを明らかにすること。また、その内容。.

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論理演算

論理演算(ろんりえんざん、logical operation)は、論理式において、論理演算子などで表現される論理関数(ブール関数)を評価し(正確には、関数適用を評価し)、変数(変項)さらには論理式全体の値を求める演算である。 非古典論理など他にも多くの論理の体系があるが、ここでは古典論理のうちの命題論理、特にそれを形式化したブール論理に話を絞る。従って対象がとる値は真理値の2値のみに限られる。また、その真理値の集合(真理値集合)と演算(演算子)はブール代数を構成する。 コンピュータのプロセッサやプログラミング言語で多用されるものに、ブーリアン型を対象とした通常の論理演算の他に、ワード等のビット毎に論理演算を行なう演算があり、ビット演算という。 なお、以上はモデル論的な議論であり、証明論的には、公理と推論規則に従って論理式を変形(書き換え)する演算がある(証明論#証明計算の種類)。.

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議論領域

議論領域(ぎろんりょういき、Domain of discourse)は、演繹、特に一階述語論理で使われる用語である。量化子で扱われる実体の適切な集合を指す。 議論領域という用語は一般に、特定の議論で使われる項全体の集合を指す。特定の議論とはすなわち、任意の1つの関心領域での言語学的または意味論的項の集まりである。モデル理論的な意味論では、議論領域という用語は、モデルが基づく実体集合を指す。 データベースは組織の現実のある面をモデル化したものである。このような現実を便宜的に「議論領域」と呼ぶこともある。.

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量化

量化(りょうか、Quantification)とは、言語や論理学において、論理式が適用される(または満足される)議論領域の個体の「量」を指定すること。.

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自由変数と束縛変数

数学や形式言語に関連する分野(数理論理学と計算機科学)において、自由変数(または自由変項、free variable)は数式や論理式で置換が行われる場所を指示する記法である。この考え方はプレースホルダーやワイルドカードにも関連する。 変数x は、例えば次のように書くと 束縛変数(または束縛変項、bound variable)になる。 あるいは これらの命題では、x の代わりに別の文字を使っても論理的には全く変化しない。しかし、複雑な命題で同じ文字を別の意味で再利用すると混乱が生じる。すなわち、自由変数が束縛されると、ある意味ではその後の数式の構成をサポートする作業に関与しなくなる。 プログラミングにおいては、自由変数とは関数の中で参照される局所変数や引数以外の変数を意味する。.

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Java

Java(ジャバ)は、狭義ではプログラミング言語Javaを指す。広義では言語仕様以外にも、仕様が与えられているJavaクラスライブラリやJava仮想マシン、さらにはJDKやJREなどの公式のものをはじめとする、場合によってはサードパーティのものなどを含め曖昧にJavaプラットフォームと総称されるようなものなどのエコシステムなどを指すこともある。構文についてはJavaの文法の記事を参照。.

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演算子の優先順位

演算子の優先順位とは、数学およびコンピュータプログラミングにおいて、数式のどの部分から先に計算すべきかを明確化する規則である。 例えば、数学や多くのコンピュータ言語では乗法は加法より先に行われる。2 + 3 × 4 という式の計算結果は14になる。(と)、、 といった括弧には計算順序の混乱を防ぐ独自の規則が適用され、例えば先の式は 2 + (3 × 4) とも書けるが、括弧がなくとも乗法が優先されるという規則だけで式の値は一意に定まる。 代数学的記法が導入された際、乗法が加法より優先されるようになった。したがって、3 + 4 × 5.

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数式

数式(すうしき、)は、数・演算記号・不定元などの数学的な文字・記号(および約物)が一定の規則にのっとって結合された、文字列である。 一般に数式には、その値 が定められており、数式はその値を表現すると考えられている。数式の値の評価 は、その数式に用いられる記号の定義あるいは値によって決まる。すなわち、数式はそれが現れる文脈に完全に依存した形で決まる。.

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数理論理学

数理論理学(mathematische Logik、mathematical logic)は、論理学(形式論理学)の数学への応用の探求ないしは論理学の数学的な解析を主たる目的とする、数学の関連分野である。局所的には数理論理学は超数学、数学基礎論、理論計算機科学などと密接に関係している。数理論理学の共通な課題としては形式体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。 数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学(とくに)における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細はを参照。 この分野が始まって以来、数理論理学は数学基礎論の研究に貢献し、また逆に動機付けられてきた。数学基礎論は幾何学、算術、解析学に対する公理的な枠組みの開発とともに19世紀末に始まった。20世紀初頭、数学基礎論は、ヒルベルトのプログラムによって、数学の基礎理論の無矛盾性を証明するものとして形成された。クルト・ゲーデルとゲルハルト・ゲンツェンによる結果やその他は、プログラムの部分的な解決を提供しつつ、無矛盾性の証明に伴う問題点を明らかにした。集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。しかしながら、集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。むしろ現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか(逆数学のように)ということに焦点を当てている。.

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