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15 関係: 半単純リー代数、対合、対称双線型形式、保型形式、モンストラス・ムーンシャイン、モンスター群、リー代数、ワイルの指標公式、ワイル群、アフィンリー代数、カルタン行列、カルタン部分環、カッツ・ムーディ代数、生成 (数学)、数学。
半単純リー代数
数学においてリー代数が半単純であるとは単純リー代数（自分自身と0以外にイデアルを持たないような非可換リー代数）の直和となる事をいう。 この記事内では特に注意しない限り \mathfrak g を標数0の体上の有限次元リー代数とする。以下の条件は全て同値である。.
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対合
対合（たいごう、ついごう、involution）は、自分自身をその逆として持つ写像である。 これは空間上の変換であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質 を持つものと言ってもよい。ただし、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。またこれは変換群に属する位数 2 の元 を指すと言っても同じことであり、それを理由に一般の群（抽象群）においても位数 2 の元を対合と呼ぶことがある。.
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対称双線型形式
線型代数学における対称双線型形式（たいしょうそうせんけいけいしき、symmetric bilinear form, symmetric bilinear functional）は、ベクトル空間上の対称な双線型形式を言う。平たく言えば、実ベクトル空間上の標準内積を一般化した概念である。対称双線型形式は、直交極性や二次曲面の研究に非常に重要である。 文脈上、双線型形式について述べていると明らかな場合は、単に短く対称形式と呼ぶこともある。対称双線型形式は二次形式と近しい関係にあり、この両者の差異に関する詳細はの項目を参照。.
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保型形式
調和解析や数論において、保型形式（ほけいけいしき、automorphic form）は、位相群 上で定義された複素数（あるいは複素ベクトル空間）値の函数で、離散部分群 の作用の下に不変なものである。保型形式は、ユークリッド空間における周期函数（これは離散位相群としての 1 次元トーラス上の函数と見なされる）を、一般の位相群に対して一般化したものである。 モジュラー形式は、モジュラー群あるいはのひとつを離散部分群として持つ SL2('''R''')（特殊線型群）や PSL2('''R''')（射影特殊線型群）の上に定義された保型形式である。この意味では、保型形式の理論はモジュラー形式の理論の拡張である。 アンリ・ポアンカレ (Henri_Poincaré) は、三角函数や楕円函数の一般化として、最初に保型形式を発見した。ラングランズ予想を通して、保型形式は現代の数論で重要な役割を果たす。.
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モンストラス・ムーンシャイン
数学において、モンストラス・ムーンシャインもしくはムーンシャイン理論とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイ(John Conway)と(Simon Norton)により命名された。今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。.
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モンスター群
群論という現代代数学の分野において、モンスター群（モンスターぐん、Monster group） とは最大のであり、その位数は である。・モンスターあるいは Friendly Giant と呼ばれることもある。 有限単純群は完全にされている。そのような群は18種類の可算無限族の1つに属するか、あるいはそのような系統的なパターンに従わない26個の散在群の1つである。モンスター群は他の散在群のうち6個を除くすべてをとして含む。 (Robert Griess) はこれら6個の例外を と呼び、他の20個を happy family と呼んでいる。 モンスターの良い構成的定義をすることはその複雑さのため難しい。.
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リー代数
数学において、リー代数、もしくはリー環日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、後述の Lie ring はより一般的な概念である。本項ではこの2つの用語を区別して用いる。は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 を備えたベクトル空間である。 の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算がであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群がによる違いを除いて一意的に存在する（）。このによってリー群をリー代数によって研究することができる。.
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ワイルの指標公式
数学において，表現論におけるワイルの指標公式（Weyl character formula）はコンパクトリー群の既約表現の指標をのことばで記述する． によって証明された． 定義により， の表現 の指標は群 の元 の関数としての のトレースである．この場合既約表現はすべて有限次元である（これはの一部である）．よってトレースの概念は線型代数学の通常のものである． の指標 を知ることは 自身の良い代替であり，アルゴリズム的内容を持ち得る．ワイルの公式は から構成される他の対象と のリー環のことばで をで表す．ここで問題の表現は複素でありしたがって一般性を失うことなくユニタリ表現である；したがって既約は直既約，つまり2つの部分表現の直和でないことと同じ意味である．.
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ワイル群
数学、特にリー環の理論において、ルート系 のワイル群（Weyl group）は、ルート系のの部分群である。具体的には、ルートに直交する超平面に関する鏡映によって生成される部分群のことで、そのようなものとしてである。抽象的には、ワイル群はであり、その重要な例である。 半単純リー群、半単純リー環、線型代数群、などのワイル群はその群あるいは環のルート系のワイル群である。 名前はヘルマン・ワイル (Hermann Weyl) にちなむ。.
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アフィンリー代数
数学において、アフィン・リー環（affine Lie algebra）は、有限次元単純リー環から自然な方法で構成される無限次元のリー環である。アフィン・リー環は一般カルタン行列が半正定値で余階数が 1 のカッツ・ムーディ・リー環である。純粋数学的な視点からは、アフィン・リー環は面白い理由は、その表現論が、有限次元半単純リー環の表現論のように、一般のカッツ・ムーディ・リー環の表現論よりもはるかによく理解されているからである。ヴィクトル・カッツによって発見されたように、アフィン・リー環の表現に対する指標公式から、組合せ論的な恒等式であるマクドナルド恒等式が導かれる。 アフィンリー環はそのつくり方により弦理論や共形場理論において重要な役割を果たす。つくり方は、単純リー環 \mathfrak からはじめて、円（閉弦と解釈される）上の \mathfrak 値関数からなる点ごとの交換子によるループ代数 L\mathfrak を考える。アフィンリー環 \hat はループ代数に1次元付け加えて交換子を非自明な方法で修正することによって得られる。これは物理学者が量子アノマリー（この場合WZWモデルのアノマリー）と、数学者が中心拡大と呼ぶものである。より一般に、 が単純Lie環 \mathfrak のディンキン図形の自己同型に伴う自己同型であるとき、twisted loop algebra L_\sigma\mathfrak は実数直線上の \mathfrak 値関数 で twisted periodicity condition を満たすものからなる。その中心拡大がまさに twisted アフィンリー環である。弦理論の視点はアフィンリー環の多くの深い性質、例えばそれらの表現のはモジュラー群の下でそれらの中で変換すること、を理解する助けとなる。.
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カルタン行列
ルタン行列(Cartan matrix)は 3つの意味を持っている。3つともすべてはフランスの数学者エリ・カルタン(Élie Cartan）の名に因んでいる。実際、リー代数の脈絡でのカルタン行列は、最初に(Wilhelm Killing)により研究され、一方、キリング形式はカルタンによって研究された。.
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カルタン部分環
数学において，カルタン部分環（カルタンぶぶんかん，Cartan subalgebra，しばしば CSA と略される）とは，リー環 \mathfrak の冪零部分環 \mathfrak であって，なもの（すべての X \in \mathfrak に対して \in \mathfrak であるならば，Y \in \mathfrak であるもの）のことである．エリ・カルタンによって彼の博士論文において導入された．.
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カッツ・ムーディ代数
数学において、カッツ・ムーディ（・リー）代数（Kac–Moody algebra）とは、一般カルタン行列を用いて生成元と関係式によって定義できる、通常は無限次元の、リー代数である。独立に発見したヴィクトル・カッツとに因んで名づけられている。カッツ・ムーディ・リー環は有限次元半単純リー環の一般化であり、ルート系、既約表現、との関連といった、リー環の構造に関係した多くの性質は、カッツ・ムーディ・リー環において自然な類似を持つ。 カッツ・ムーディ・リー環の中でもアフィン・リー環と呼ばれるクラスが、数学や理論物理学、特に共形場理論やの理論において、特に重要である。カッツは、組合せ論的な恒等式であるマクドナルド恒等式の、アフィン・リー環の表現論に基づいたエレガントな証明を発見した。Howard Garland と は が類似の方法で導出できることを証明した。.
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生成 (数学)
数学における生成（せいせい、generate）とは、与えられた対象と条件に対して、その条件を満たしかつ与えられた対象を全て含むような最小の構成物を求めることである。このとき与えられた対象の集まりを生成系（生成集合）(generating set) といい、生成集合の各元を生成元 (generator) という。また、「最小の構成物」は生成系から生成されるという。生成系が1つの対象からなるような場合には、生成系と生成元は同一視できる。.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
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