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有界入力有界出力安定性

索引 有界入力有界出力安定性

有界入力有界出力安定性(ゆうかいにゅうりょくゆうかいしゅつりょくあんていせい、Bounded-Input Bounded-Output Stability)またはBIBO安定性(BIBO Stability)は、信号処理や制御理論における信号やシステムの安定性の一形態である。システムがBIBO安定であるとは、有限な入力を与えられたとき、常に有限な出力となることをいう。 ある有限値 B > 0 があり、信号の振幅が B を決して超えない場合、その信号は有限(有界)である。すなわち、.

22 関係: 単位円収束半径三角不等式信号 (電気工学)信号処理ノルムラプラス変換制御理論インパルス応答総和無限インパルス応答畳み込み直交座標系複素数開集合離散信号連続 (数学)LTIシステム理論Z変換有理関数有界有限インパルス応答

単位円

数学において単位円(たんいえん、unit circle)とは、半径が 1 の円のことである。解析幾何学(いわゆる“座標幾何”)では特に原点(すなわち x 軸と y 軸の交点) O(0, 0) を中心とするものをいう。これは、原点からの距離が 1 であるような点の全体が描く軌跡のことと言っても同じことである。 単位円はしばしば S1 で表される(これは n 次元の球面 (sphere) という概念の n.

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収束半径

収束半径(しゅうそくはんけい、radius of convergence) とは、冪級数が収束する定義域を与える非負量(実数あるいは∞)である。 次の冪級数を考える。 ただし、中心 a や係数 cn は複素数(特に実数)とする。次の条件が成立するとき、r をこの級数の収束半径という。 であるとき、級数は収束し、 であるとき、級数は発散する。 もし、級数が全ての複素数 z に関して収束するならば、収束半径は ∞ となる。.

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三角不等式

数学における三角不等式(さんかくふとうしき、triangle inequality)は、任意の三角形に対してその任意の二辺の和が残りの一辺よりも大きくなければならないことを述べるものである。三角形の三辺が で最大辺が とすれば、三角不等式は が成り立つことを主張している.

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信号 (電気工学)

信号(signal)は、電気通信や信号処理、さらには電気工学全般において、時間や空間に伴って変化する任意の量を意味する。 実世界では、時間と共に測定可能な量や、空間において測定可能な量を信号という。また人間社会では、人間の発する情報や機械のデータも信号とされる。そのような情報やデータ(例えば画面上のドット、紙上にインクで書かれたテキスト、あるいはこれを読んでいる人が見ている単語の列)は全て、何らかの物理的システムや生体的システムの一部として存在している。 システムの形態は様々だが、その入力と出力は時間または空間に伴って変化する値として表すことが可能である。20世紀後半、電気工学はいくつかの分野に分かれ、その一部は物理的信号とそのシステムを設計および解析する方向に特化してきた。また、一方では人間や機械の複雑なシステムの機能動作や概念構造を扱う分野も登場した。これらの工学分野は、単純な測定量としての信号を利用したシステムの設計/研究/実装の方法を提供し、それによって情報の転送/格納/操作の新たな手段が生み出されてきた。.

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信号処理

信号処理(しんごうしょり、signal processing)とは、光学信号、音声信号、電磁気信号などの様々な信号を数学的に加工するための学問・技術である。 アナログ信号処理とデジタル信号処理に分けられる。 基本的には、信号から信号に変換するものであり、信号とは別の形式の情報を得るもの(例えば、カテゴリ分けや関連づけ、推論的な情報を得る認識や理解など)は含まれない。圧縮も含まれないことが多い。但し、認識や理解、圧縮の前段階としての信号の変換は信号処理と呼ばれる。そのため、信号処理はそれらの技術に対して非常に重要であるとともに関連が強い。なお、また入力と出力が同じ種類(物理量)の信号である場合(例えば入力と出力ともに同じ音圧である場合)には、フィルタリングとも呼ばれる。 信号処理の例としては、ノイズの載った信号から元の信号を推定するノイズ除去や、時間的な先の値を推定する予測、時間周波数解析などを行う直交変換、信号の特徴を得る特徴抽出、特定の周波数成分のみを得るフィルタなどがある。 高速フーリエ変換、ウェーブレット変換、畳み込み等のアルゴリズムがあり、以前はそれぞれ専用のハードウェアで処理していたが、近年ではDSPや汎用のハードウェアでソフトウェアで処理したり、FPGAによる再構成可能コンピューティングによって処理する方法が開発されつつある。 さまざまな応.

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ノルム

解析学において、ノルム (norm, Norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。.

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ラプラス変換

関数解析学において、ラプラス変換(ラプラスへんかん、Laplace transform)とは、積分で定義される関数空間の間の写像(線型作用素)の一種。関数変換。 ラプラス変換の名はピエール=シモン・ラプラスにちなむ。 ラプラス変換によりある種の微分・積分は積などの代数的な演算に置き換わるため、制御工学などにおいて時間領域の(とくに超越的な)関数を別の領域の(おもに代数的な)関数に変換することにより、計算方法の見通しを良くするための数学的な道具として用いられる。 フーリエ変換を発展させて、より実用本位で作られた計算手法である。1899年に電気技師であったオリヴァー・ヘヴィサイドが回路方程式を解くための実用的な演算子を経験則として考案して発表し、後に数学者がその演算子に対し厳密に理論的な裏付けを行った経緯がある。理論的な根拠が曖昧なままで発表されたため、この計算手法に対する懐疑的な声も多かった。この「ヘヴィサイドの演算子」の発表の後に、多くの数学者達により数学的な基盤は1780年の数学者ピエール=シモン・ラプラスの著作にある事が指摘された(この著作においてラプラス変換の公式が頻繁に現れていた)。 従って、数学の中ではかなり応用寄りの分野である。ラプラス変換の理論は微分積分、線形代数、ベクトル解析、フーリエ解析、複素解析を基盤としているため、理解するためにはそれらの分野を習得するべきである。 これと類似の解法として、より数学的な側面から作られた演算子法がある。こちらは演算子の記号を多項式に見立て、代数的に変形し、公式に基づいて特解を求める方法である。.

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制御理論

制御理論(せいぎょりろん、control theory)とは、制御工学の一分野で、数理モデルを対象とした、主に数学を用いた制御に関係する理論である。いずれの理論も「モデル表現方法」「解析手法」「制御系設計手法」を与える。.

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インパルス応答

単純な音響システムのインパルス応答の例。上から、元のインパルス、高周波をブーストした場合、低周波をブーストした場合 インパルス応答()とは、インパルスと呼ばれる非常に短い信号を入力したときのシステムの出力である。インパルス反応とも。インパルスとは、時間的幅が無限小で高さが無限大のパルスである。実際のシステムではこのような信号は生成できないが、理想化としては有益な概念である。 LTIシステム(線形時不変系)と呼ばれるシステムは、そのインパルス応答によって完全に特徴付けられる。.

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総和

数学において、総和(そうわ、summation)とは与えられた数を総じて加えることである。.

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無限インパルス応答

無限インパルス応答(むげんインパルスおうとう、Infinite impulse response, IIR)は、信号処理システムの属性の一種。この属性を持つシステムをIIRシステムと呼び、フィルタ回路の場合はIIRフィルタと呼ぶ。これらシステムは、無限長の時間においてゼロでない値を返すインパルス応答関数を持つ。対照的に、有限の時間についてのインパルス応答があるものを有限インパルス応答 (FIR) と呼ぶ。最も単純なアナログIIRフィルタとしてRCフィルタがあり、1つの抵抗器 (R) と1つのコンデンサ (C) で形成される。このフィルタは、RC時定数で決定される指数関数的インパルス応答の特性を持つ。 IIRフィルタはアナログフィルタだけでなく、デジタルフィルタとしても実装される。デジタルIIRフィルタでは、出力フィードバックは出力を定義する方程式から即座に求められる。FIRフィルタとは異なり、IIRフィルタ設計では、フィルタの出力が明確に定義されない「時刻ゼロ」の場合を注意深く扱う必要がある。 デジタルIIRフィルタの設計は、アナログIIRフィルタに基づいてなされてきた。多くの場合、デジタルIIRフィルタを設計するにあたってまずアナログIIRフィルタ(例えば、チェビシェフフィルタ、バターワースフィルタ、楕円フィルタ)を設計し、インパルス不変法や双一次変換といった離散化技法を適用してデジタルに変換する。 IIRフィルタは一般に、FIRフィルタに比較して高速で安価だが、バンドパスフィルタとしての性能や安定性が劣る。 IIRフィルタとしては、チェビシェフフィルタ、バターワースフィルタ、ベッセルフィルタなどがある。 以下では、デジタルシグナルプロセッサで実装できる離散時間IIRフィルタについて解説する。.

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畳み込み

畳み込み(たたみこみ、convolution)とは関数 を平行移動しながら関数 に重ね足し合わせる二項演算である。畳み込み積分、合成積、重畳積分、あるいは英語に倣いコンボリューションとも呼ばれる。.

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直交座標系

数学における直交座標系(ちょっこうざひょうけい、, )とは、互いに直交している座標軸を指定することによって定まる座標系のことである。平面上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる二つの実数の組によって点の位置が指定される。同様にして空間上の直交座標系では三つの実数の組によって座標が与えられる。 1637年に発表された『方法序説』において平面上の座標の概念を確立したルネ・デカルトの名を採ってデカルト座標系 (Cartesian coordinate system) とも呼ぶ。.

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複素数

数学における複素数(ふくそすう、complex number)は、実数の対 と と線型独立な(実数ではない)要素 の線型結合 の形に表される数(二元数: 実数体上の二次拡大環の元)で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数(四元数、八元数、十六元数など)の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係(つまり全順序)をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に(おおくは接頭辞「複素-」を付けることで)反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素(係数)多項式、複素リー代数など。.

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開集合

開集合(かいしゅうごう、open set)は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを(元として)含む開球を(部分集合として)含むような集合(あるいは同じことだが境界点を全く含まないような集合)として定義できる。例えば、数直線上で不等式 2 < x < 5 によって定まる開区間は開集合である。この場合の境界とは数直線上の点 2 と 5 であって、不等式を 2 ≤ x ≤ 5 としたものや 2 ≤ x < 5 としたものは、境界を含んでいるので開集合ではない。また、 2 < x < 5 によって定まる開区間内のどの点に対しても、その点の開近傍として十分小さなものを選べば、それがもとの開区間に含まれるようにできる。 しかしながら、開集合は一般にはとても抽象的になりうる(詳しくは位相空間の項を参照されたい)。開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては、例えば実数において(普通の意味での)境界上を含む集合が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。極端な例では、すべての部分集合を開集合としたり(離散位相)、開集合は空集合と空間全体だけとしたり(密着位相)することもできる。.

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離散信号

離散信号(Discrete signal)もしくは離散時間信号(Discrete-time signal)は、連続信号を標本化した信号の時系列である。連続信号とは違い、離散信号は連続信号の関数ではないが量の系列である、つまり離散的な整数の範囲の関数である。これらの系列の値を「標本値(sample)」という。 離散信号が均一に間隔を置かれた回に対応する系列である場合、それは関連する標本化周波数を持っている、標本化周波数はデータ系列ではわからないので、別のデータ項目として関連付けられるかもしれない。.

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連続 (数学)

数学において、連続(れんぞく、continuous)および連続性(れんぞくせい、continuity)とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。.

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LTIシステム理論

LTIシステム理論(LTI system theory)は、電気工学、特に電気回路、信号処理、制御理論といった分野で、線型時不変系(linear time-invariant system)に任意の入力信号を与えたときの応答を求める理論である。通常、独立変数は時間だが、空間(画像処理や場の古典論など)やその他の座標にも容易に適用可能である。そのため、線型並進不変(linear translation-invariant)という用語も使われる。離散時間(標本化)系では対応する概念として線型シフト不変(linear shift-invariant)がある。.

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Z変換

関数解析学において、Z変換(ゼッドへんかん、Z-transform)とは、離散群上で定義される、ローラン展開をベースにした関数空間の間の線形作用素。関数変換。 Z変換は離散群上でのラプラス変換とも説明される。なお、Z変換という呼び方は、ラプラス変換のことを「S変換」と呼んでいるようなものであり、定義式中の遅延要素であるzに由来する名前である。.

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有理関数

数学における有理関数(ゆうりかんすう、rational function)は、二つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として書ける関数の総称である。抽象代数学においては変数と不定元とを区別するので、後者の場合を有理式と呼ぶ。.

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有界

上が有界集合、下が非有界集合を模式的に表したもの。ただし、下のほうは枠を超えて右方へ延々と続くものとする。 数学において集合が有界(ゆうかい、bounded)である、または有界集合(ゆうかいしゅうごう、bounded set)であるとは、ある種の「差渡しの大きさ」に関する有限性をそれが持つときにいう。有界でない集合は非有界(ひゆうかい、unbounded)であるという。 単純閉曲線はそれを境界として平面 '''R'''2 を有界(内側)および非有界(外側)な二つの領域に分ける。.

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有限インパルス応答

有限インパルス応答(ゆうげんインパルスおうとう、finite impulse response, FIR)は、デジタルフィルタの一種である。クロネッカーのデルタ入力に対するフィルタの応答特性であるインパルス応答が「有限」であるとは、有限個の標本でゼロに安定することを意味する。対照的に無限インパルス応答フィルタでは、内部フィードバックがあり、無制限に応答し続ける可能性がある。N次FIRフィルタは、インパルスに対して N+1 個の標本まで応答が持続する。.

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