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38 関係: 双対問題、多項式時間、定符号二次形式、対称行列、二次関数、ラグランジュの未定乗数法、シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア、シンプレックス法、サポートベクターマシン、内点法、凸最適化、共役勾配法、固有値、BSDライセンス、CGAL、線型計画法、非線形計画法、転置行列、零空間、逐次二次計画法、GitHub、GNU General Public License、GNU Lesser General Public License、IMSL、IPOPT、LU分解、Maple、Mathematica、MATLAB、Microsoft Excel、MIT License、NAG数値計算ライブラリ、NP困難、Numerical Algorithms Group、R言語、最適化問題、数理最適化、整数計画問題。
双対問題
双対問題（そうついもんだい、dual problem）とは、数学において、最適化問題における主問題（primary problem）の補問題を指す。どちらか一方の解法が両方の問題の解法となる。.
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多項式時間
多項式時間（たこうしきじかん）とは計算理論において多項式で表される計算時間。 多項式時間のアルゴリズムとは、解くべき問題の入力サイズnに対して、処理時間の上界としてnの多項式で表現できるものが存在するアルゴリズムを指す。問題入力サイズの増大に対する、処理時間の増大を表すものであることに注意されたい。 たとえばバブルソートの処理時間は要素数nに対して要素の比較・交換を行う回数は高々 \frac n(n-1) である。したがって、この場合の最悪計算量のオーダーは''O''記法を用いてO()と表される。 またクイックソートの期待計算量のオーダーはO(n \log n)、最悪計算量のオーダーはO()である。.
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定符号二次形式
数学において実ベクトル空間 V 上で定義された二次形式 Q が定符号（ていふごう、definite）であるとは、V の任意の非零ベクトルに対して Q が同じ符号をもつことを言う。定符号二次形式は、至る所正となるか、または至る所負となるかに従ってさらに、正の定符号（positive definite; 正値、正定値）または負の定符号（negative definite; 負値、負定値）に分けられる。 半定符号 (semidefinite) 二次形式も、至る所「正」および「負」としていたところを、至る所「負でない」および「正でない」に置き換えて同様に定義される。正の値も負の値も取るような二次形式は不定符号 (indefinite) であると言う。 より一般に、二次形式の定符号性を順序体上のベクトル空間において考えることもできる。.
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対称行列
線型代数学における対称行列（たいしょうぎょうれつ、symmetric matrix）は、自身の転置行列と一致するような正方行列を言う。記号で書けば、行列 A は を満たすとき対称であるという。相等しい行列の型（次元、サイズ）は相等しいから、この式を満たすのは正方行列に限られる。 定義により、対称行列の成分は主対角線に関して対称である。即ち、成分に関して行列 は任意の添字 に関して を満たす。例えば、次の 行列 1 & 7 & 3\\ 7 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6 \end は対称である。任意の正方対角行列は、その非対角成分が であるから、対称である。同様に、歪対称行列（ なる行列）の各対角成分は、自身と符号を変えたものと等しいから、すべて でなければならない。 線型代数学において、実対称行列は実内積空間上の自己随伴作用素を表す。これと、複素内積空間の場合に対応する概念は、複素数を成分に持つエルミート行列（自身の共役転置行列と一致するような複素行列）である。故に、複素数体上の線型代数学においては、対称行列という言葉は行列が実数に成分をとる場合に限って使うことがしばしばある。対称行列は様々な応用の場面に現れ、典型的な数値線型代数ソフトウェアではこれらに特別な便宜をさいている。.
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二次関数
二次関数はグラフでは放物線を表す。図はy.
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ラグランジュの未定乗数法
ラグランジュの未定乗数法（ラグランジュのみていじょうすうほう、method of Lagrange multiplier）とは、束縛条件のもとで最適化を行うための数学（解析学）的な方法である。いくつかの変数に対して、いくつかの関数の値を固定するという束縛条件のもとで、別のある1つの関数の極値を求めるという問題を考える。各束縛条件に対して定数（未定乗数、）を用意し、これらを係数とする線形結合を新しい関数（未定乗数も新たな変数とする）として考えることで、束縛問題を普通の極値問題として解くことができる方法である。.
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シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア
ュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア（Springer Science+Business Media, Springer）は、科学（Science）、技術（Technology、工学など）、医学（Medicine）、すなわちSTM関連の書籍、電子書籍、査読済みジャーナルを出版するグローバル企業である。シュプリンガーはまた、"SpringerLink"（「シュプリンガー・リンク」） 、"SpringerProtocols"（「」） 、"SpringerImages"（「シュプリンガー・イメージ」） 、"SpringerMaterials"（「シュプリンガー・マテリアル」） などいくつかの科学データベース・サービスのホスティングも行っている。 出版物には、参考図書（Reference works、レ（リ）ファレンス・ワークス）、教科書、モノグラフ（Monograph）、（Proceedings）、叢書など多数が含まれる。また、シュプリンガー・リンクには45,000以上のタイトルが自然科学など13の主題・テーマで集められており、それらは電子書籍として利用可能である。シュプリンガーはSTM分野の書籍に関しては世界最大の出版規模を持ち、ジャーナルでは世界第2位である（第1位はエルゼビア）。 多数のインプリントや、20ヶ国に約55の発行所（パブリッシング・ハウス）、5,000人以上の従業員を抱え、毎年約2,000のジャーナル、7,000以上の新書（これにはSTM分野だけではなく、B2B分野のものも含まれる）を発刊している。シュプリンガーはベルリン、ハイデルベルク、ドルトレヒト、ニューヨークに主要オフィスを構える。近年成長著しいアジア市場のために、アジア地域本部を香港に置いており、2005年8月からは北京に代表部を設置している 。 2015年5月、シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディアとマクミラン・サイエンス・アンド・エデュケーションの大半の事業の合併が、欧州連合や米国司法省などの主要な公正競争監視機関により承認された。新会社の名称は「シュプリンガー・ネイチャー（Springer Nature）」。.
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シンプレックス法
ンプレックス法（、単体法）は、1947年に (George B. Dantzig) が提案した、線型計画問題を解くアルゴリズムの中で最も広く使用されている方法である。線型計画法の1つ。.
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サポートベクターマシン
ポートベクターマシン（support vector machine, SVM）は、教師あり学習を用いるパターン認識モデルの一つである。分類や回帰へ適用できる。1963年に Vladimir N. Vapnik, Alexey Ya.
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内点法
内点法（ないてんほう、internal point method）とは、連続最適化問題のアルゴリズムであり、カーマーカー法に触発されて生まれた多くの手法の総称である。実行可能領域の内部を経由して、最適解に収束するのが特徴である。また、大規模問題に対しては計算効率が良い点や非線型問題にも対応できる点で、シンプレックス法よりも優れているといえる。内点法は、点列を生成する方法によって、アフィン変換法、ポテンシャル減少法、パス追跡法などに分類される。また、扱う問題によっては、与えられた問題を直接扱う方法(主内点法、primal interior point method)、その双対問題を扱う方法(双対内点法、dual interior point method)、主問題と双対問題を同時に解く方法(主双対内点法、primal-dual interior point method)に分けられる。.
凸最適化
凸最小化問題とは最適化問題の分野のひとつで、凸集合上の凸関数の最小化問題である。 凸最小化問題は一般的な最適化問題よりも簡単に最適化が可能であり、 局所的な最小値が大域的な最小値と一致する性質をもつ。 実ベクトル空間X上の実数値凸関数 がXの凸部分集合\mathcal上で定義される。 凸最適化問題とはf(x)の最小値をとなる\mathcal上の点x^\ast を見つけることである。 すなわちx^\astは である。.
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共役勾配法
線型方程式の二次形式を最小化するための、最適なステップサイズによる最急降下法（緑）の収束と共役勾配法（赤）の収束の比較。共役勾配法は、厳密には''n''次の係数行列に対して高々''n''ステップで収束する（ここでは''n''.
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固有値
線型代数学において、線型変換の特徴を表す指標として固有値 (eigenvalue) や固有ベクトル (eigenvector) がある。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (eigenvalue problem) という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。.
BSDライセンス
BSD License（ビーエスディー ライセンス）は、フリーソフトウェアで使われているライセンス体系のひとつ。カリフォルニア大学によって策定され、同大学のバークレー校内の研究グループ、Computer Systems Research Groupが開発したソフトウェア群であるBSDなどで採用されている。.
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CGAL
Computational Geometry Algorithms Library (CGAL) は計算幾何学分野におけるアルゴリズムに効果的で信頼性があり、かつ簡易なアクセスを提供することを目的としたソフトウエアである。 オリジナルはC++言語で書かれているが、Python言語のバインディングも利用可能である。 ライセンスは二重ライセンスとなっている。オープンソフトウエアで使用する場合はLGPLもしくはQPLで提供される。商用ライセンスも購入することが可能である。.
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線型計画法
線型計画法（せんけいけいかくほう LP; linear programming ）とは、いくつかの1次不等式および1次等式を満たす変数の値の中で、ある1次式を最大化または最小化する値を求める方法である。線型計画問題を解く手法。.
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非線形計画法
非線形計画法（ひせんけいけいかくほう、nonlinear programming, NLP）は、制約条件群と未知の実変数群から成る一連の等式と不等式で、制約条件または目的関数の一部が非線形なものについて、目的関数を最小化または最大化するような解を求めるプロセスである。また、非線形計画法の対象となる問題を非線形計画問題と呼ぶ。.
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転置行列
転置行列（てんちぎょうれつ、transpose, transposed matrix）とは 行 列の行列 に対して の 要素と 要素を入れ替えた 行 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列のことである。転置行列は などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置（てんち、transpose）といい、「 を転置する」などと表現する。.
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零空間
数学、とくに関数解析学において、線型作用素 A: V → W の零空間（ぜろくうかん、れいくうかん、null space）あるいは核空間（かくくうかん、kernel space）とは、 のことである。Nul(A) は N(A) や Ker(A) などとも書かれる。とくに Ker は零空間が線型写像としての A の核 (kernel) にあたることを意味するのであるが、零空間という語を用いる文脈においては、核ということばを熱核 などの積分核に対して用いていることがほとんどであろうから注意されたい。 また、零空間という語をもちいる文脈においては、線型写像の像 は値域 と呼ばれ、線型作用素 A の値域は Ran(A) や R(A) と綴るのが通例のようである。 零空間は、ベクトル空間 V の部分空間である。さらに、 商空間 V/(Ker A) は、 A の像 Ran(A) に同型である; 特に次元について が成り立つ。 Nul A.
逐次二次計画法
逐次二次計画法（ちくじにじけいかくほう、sequential quadratic programming）は非線形最適化のための反復解法の一つである。逐次二次計画法は目的関数と制約関数の両方が二階微分可能であるような問題に対して使われる。 逐次二次計画法は逐次的に二次の部分最適化問題を解く。それぞれの部分最適化問題は最適解に向かう探索方向を未知数とする二次計画問題になる。この際、問題に与えられている制約は探索方向に対して線形の条件に置き換えられる。問題が制約なしの最適化であるならば、勾配がゼロである点を見つけ出す一般のニュートン法と同様の定式化となる。また、問題が等式制約のみを持つ場合には、カルーシュ・クーン・タッカー条件（KKT条件）に対するニュートン法と同様の定式化となる。逐次二次計画法はNPSOLやSNOPT、NLPQL、OPSYC、OPTIMA、MATLAB、GNU Octave等、多数のプログラム関数ライブラリに実装されている。.
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GitHub
GitHub（ギットハブ）は、ソフトウェア開発のプラットフォームであり、ソースコードをホスティングする。コードのバージョン管理システムにはGitを使用する。Ruby on RailsおよびErlangで記述されており、アメリカのカリフォルニア州サンフランシスコ市に拠点を置くGitHub社によって保守されている。主な開発者はChris Wanstrath、PJ Hyett、Tom Preston-Wernerである。 GitHub商用プランおよびオープンソースプロジェクト向けの無料アカウントを提供している。2009年のユーザー調査によると、GitHubは最もポピュラーなGitホスティングサイトとなった。 2018年にマイクロソフトによる買収が発表されている（後述）。.
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GNU General Public License
GNU General Public License(GNU GPLもしくは単にGPLとも)とは、GNUプロジェクトのためにリチャード・ストールマンにより作成されたフリーソフトウェアライセンスである。八田真行の日本語訳ではGNU 一般公衆利用許諾書と呼んでいる。.
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GNU Lesser General Public License
GNU Lesser General Public License（以前は、GNU Library General Public Licenseだった）または GNU LGPL、単にLGPLは、フリーソフトウェア財団（Free Software Foundation、以下FSFと略称）が公開しているコピーレフト型のフリーソフトウェアライセンスである。八田真行による日本語訳ではGNU 劣等一般公衆利用許諾書と呼称している。.
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IMSL
IMSL (International Mathematics and Statistics Library) は、FORTRAN、C/C++、Java、C#/.NET FrameworkおよびPython 言語で利用可能な数値計算・統計解析用の商用ライブラリである。大学・官公庁、研究機関の他、金融、科学技術、ビジネスインテリジェンスなど幅広い分野で利用されている。 線形方程式、固有値解析、補間と近似、微分と積分、非線形方程式、微分方程式、最適化などの数学関数のほか、回帰分析、相関、分散分析、実験計画法、ノンパラメトリック統計、時系列予測、クラスタ分析、多変量解析、乱数発生などの統計解析に必要な関数、およびチャート機能や遺伝的アルゴリズム、ニューラルネットワークを含むデータマイニング機能など、幅広く取り揃えている。 開発元は 日本国内ではが販売・サポートを行っている。同社は、配列指向のプログラミング言語であり可視化データ解析アプリケーションの開発に使用される PV-WAVE, 大規模並列アプリケーション開発向けFortran, C, C++用デバッガ TotalViewの提供も行っている。.
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IPOPT
IPOPT（Interior Point OPTimizer、I-P-Opt と発音される）は、主双対内点法を利用した大規模（高次元）な連続最適化問題を解くライブラリである。C++で実装され、公開されているソースコードはEPLライセンスのもとでの利用できる。.
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LU分解
数学における行列のLU分解（エルユーぶんかい）とは、正方行列 A を下三角行列 L と上三角行列 U の積に分解すること。すなわち A.
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Maple
Maple（メイプル）とは、数式処理、数値計算、グラフ作成などを行うソフトウェアのひとつである。Mapleは、1980年代前半にカナダのウォータールー大学で開発され（株式会社としてはWaterloo Maple名義。以下Maplesoft）、日本ではサイバネットシステムが販売、翻訳を行っていたが、2009年9月に、Maplesoftをサイバネットシステムが買収した。Mapleを使うと、紙と鉛筆で行う数学の計算や作図をコンピュータで行うことができる。 また、販売方法としては、アカデミックバージョンを出し、学生や、教員、研究者向けに廉価で(1ライセンス2～3万円程度)ほとんどスペックの落ちない製品を販売している。また、小学校、中学校、高校などの初等教育の現場における数学、理科の授業から、大学や企業のR&D部門などの研究機関に至るまで幅広いユーザ層が開拓されつつある。.
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Mathematica
Mathematica（マセマティカ）は、スティーブン・ウルフラムが考案し広く使われている数式処理システム。ウルフラム・リサーチの、ウルフラムが率いる数学者とプログラマのチームが開発し、同社が販売している。Mathematicaは項書き換えを基本として、複数のパラダイムをエミュレートするプログラミング言語としても強力である。.
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MATLAB
MATLAB（マトラボ）は、アメリカ合衆国のMathWorks社が開発している数値解析ソフトウェアであり、その中で使うプログラミング言語の名称でもある。MATLABは、行列計算、関数とデータの可視化、アルゴリズム開発、グラフィカルインターフェイスや、他言語(C/C++/Java/Python)とのインターフェイスの機能を有している。MATLABは、主に、数値計算を扱う事ができるが、追加のオプションを使うことで、数式処理の能力を得ることができる。2004年で、MATLABは産業界、教育界において100万人ユーザーを達成しており、工学、理学、経済学など幅広い業種で利用されている。.
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Microsoft Excel
Microsoft Excel（マイクロソフト・エクセル）は、マイクロソフトがWindows、macOS、iOSおよびAndroid向けに開発・販売している表計算ソフトである。Microsoft Wordとともに、同社のオフィススイート「Microsoft Office」の中核をなすアプリケーションである。.
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MIT License
MIT License（エム・アイ・ティー ライセンス）は、マサチューセッツ工科大学を起源とする代表的なソフトウェアライセンスである。X11 LicenseまたはX Licenseと表記されることもある。MIT LicenseはGPLなどとは異なり、コピーレフトではなく、オープンソースであるかないかにかかわらず再利用を認めている。BSDライセンスをベースに作成されたBSDスタイルのライセンスの一つである。MIT Licenseは、数あるライセンスの中で非常に制限の緩いライセンスと言える。 X Window System (X11) などのソフトウェアに適用されている。また、2015年3月には、GitHubで最も使われているオープンソースライセンスはMIT Licenseであるという調査結果も出ている。.
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NAG数値計算ライブラリ
NAG ライブラリは、Numerical Algorithms Group（NAG社）により販売されているFortran、C言語、Java、などで使用可能な数値計算、統計解析用ライブラリである。線型方程式、固有値問題、補間、微積分、非線型方程式、微分方程式などの数学関数のほかに、相関係数、共分散、多変量解析、乱数発生などの統計計算や金融工学に必要な関数を多く取り揃えている。Windows、Linux、Solaris、HP-UX、IBM AIX、SGI IRIX, その他NECや富士通のスーパーコンピュータなどのプラットフォームで動作する。英国 The Numerical Algorithms Group Ltd. が開発、日本国内では日本ニューメリカルアルゴリズムズグループ株式会社が販売、サポートを行なっている。 NAG数値計算ライブラリでは利用言語や環境などにより以下の5種類のライブラリが用意されている。.
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NP困難
NP完全、'''NP困難'''の相関を表すベン図 NP困難（エヌピーこんなん、NP-hard）とは計算量理論において、問題が「NPに属する任意の問題と比べて、少なくとも同等以上に難しい」ことである。正確にいうと問題 H がNP困難であるとは、「NPに属する任意の問題 L が H へ帰着可能である」と定義される。この「帰着」の定義として何を用いるかにより微妙に定義が異なることになるが、例えば多項式時間多対一帰着や多項式時間チューリング帰着を用いる。NP困難問題を解ける多項式時間の機械がもしあれば、それを利用してNPに属するどの問題も多項式時間で解くことができる。 NP完全問題とは、NP困難であり、かつNPに属する問題である。これと異なり、NP困難である問題はNPに属するとは限らない。NPは決定問題のクラスなのでNP完全もまた決定問題に限られるが、定義に用いる帰着の種類によってはNP困難には決定問題、探索問題(en)、組合せ最適化問題など様々な問題が属しうる。 上に挙げた定義から、問題 H がNP困難なとき次のことが言える（以下は定義ではなく主張）。.
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Numerical Algorithms Group
Numerical Algorithms Group (NAG) は英オックスフォードに本拠を置く、ソフトウェア開発を目的とした非営利企業である。1970年にブライアン・フォード博士 (Brian Ford, OBE) らによってノッティンガム・アルゴリズム・グループとして設立された。NAG は数学、統計学、データマイニングに関するソフトウェアを開発することを主な目的とする一方で、可視化や科学技術計算ソフトウェアの開発支援も行っている。NAG のソフトウェアは金融工学や科学、工学一般に加え教育現場や研究機関など、世界的に幅広く使われている。.
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R言語
R言語（あーるげんご）はオープンソース・フリーソフトウェアの統計解析向けのプログラミング言語及びその開発実行環境である。 R言語はニュージーランドのオークランド大学のRoss IhakaとRobert Clifford Gentlemanにより作られた。現在ではR Development Core Team によりメンテナンスと拡張がなされている。 R言語のソースコードは主にC言語、FORTRAN、そしてRによって開発された。 なお、R言語の仕様を実装した処理系の呼称名はプロジェクトを支援するフリーソフトウェア財団によれば『GNU R』である が、他の実装形態が存在しないために日本語での慣用的呼称に倣って、当記事では、仕様・実装を纏めて適宜にR言語や単にR等と呼ぶ。.
最適化問題
最適化問題（さいてきかもんだい、optimization problem）とは、特定の集合上で定義された実数値関数または整数値関数についてその値が最小（もしくは最大）となる状態を解析する問題である。数理計画問題（すうりけいかくもんだい、mathematical programming problem, mathematical program）、数理計画とも呼ばれる。実世界の現象の数理的な解析に関わる問題や抽象的な理論の多くをこの最適化問題という一般的なくくりに入れることができる。物理学やコンピュータビジョンにおける最適化問題は、考えている関数をモデル化された系のエネルギーを表すものと見なすことによって、エネルギー最小化問題と呼ばれることもある。.
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数理最適化
数学の計算機科学やオペレーションズリサーチの分野における数理最適化（すうりさいてきか、）とは、（ある条件に関して）最もよい元を、利用可能な集合から選択することをいう。 最も簡単な最適化問題には、ある許された集合から入力をシステマティックに選び、函数の値を計算することによるの最大化と最小化がある。最適化理論とその手法の、他の形式への一般化は応用数学の広範な分野をなすものである。より一般に、最適化はある与えられた定義域（あるいは制約の集合）についてある目的函数の「利用可能な最も良い」値を見つけることも含む。そのような目的函数と定義域は多様な異なるタイプのものも含む。.
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整数計画問題
整数計画問題（せいすうけいかくもんだい）は、線型計画問題において、解ベクトルxの各要素を整数に限定した問題をいう。これはNP困難な問題に該当する。線型計画問題には多項式時間アルゴリズムが存在するのに対し、整数計画問題には存在しない。 解ベクトルxの各要素を0または1のみに限定したものを、特に0-1整数計画問題という。.
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