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円錐曲線

索引 円錐曲線

円錐曲線(えんすいきょくせん、conic curve, conic section; 円錐断面)とは、円錐面を任意の平面で切断したときの断面としてえられる曲線群の総称である。.

37 関係: 原亨吉双曲線媒介変数小倉金之助岡部恒治川北朝鄰中村滋平面幾何学二次曲面ペルガのアポロニウスユークリッド空間ヨハネス・ケプラーレオンハルト・オイラーブレーズ・パスカルピエール・ド・フェルマー切断エウクレイデスケプラーの法則サケ類円 (数学)円錐種数直交行列飯高茂解析幾何学軌道 (力学)離心率陰関数極座標系楕円有理点有理関数有理数断面放物線曲線

原亨吉

原 亨吉(はら こうきち、1918年6月21日 - 2012年3月20日)は、数学史家、フランス文学者、大阪大学名誉教授。 京都市出身。姫路市に育つ。第一高等学校理科乙類を経て、1938年京都帝国大学哲学科入学、1940年退学し1942年東京帝国大学仏文科卒業。1942年入営し少尉で敗戦、1945年8月20日中尉(いわゆるポツダム中尉)で除隊、1947年同志社女子専門学校教授、1949年関東学院大学経済学部助教授。 1955年大阪大学文学部助教授、1963年パリ大学に留学し1965年博士号を取得し帰国、1970年教授、1974年評議員、フランス政府よりパルム・アカデミーク勲章を授与、1982年定年退官し名誉教授、天理大学教授。1982年に「パスカルの数学的業績(“L'ŒUVRE MATHEMATIQUE DE PASCAL”)」で日本学士院恩賜賞を受賞、1989年勲二等瑞宝章受章。 フランス科学思想史、近世ヨーロッパ数学史を専攻し、ルネ・デカルト、ケプラー、ホイヘンス、ロベルヴァル、ライプニッツを軸に研究論文・翻訳を行い、フランス語教育にも長くたずさわった。若き日はスタンダール、アラン、ヴァレリーらの翻訳も行った。.

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双曲線

双曲線(そうきょくせん、hyperbola)とは、2次元ユークリッド空間 R2 上で定義され、ある2点 P, Q からの距離の差が一定であるような曲線の総称である。この P, Q は焦点と呼ばれる。双曲線は、次の陰関数曲線の直交変換によって決定することができる。 この場合、焦点の座標は と書ける。このとき、2焦点から曲線への距離の差は 2a となる。また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、 である。漸近線が直交している、すなわち a.

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媒介変数

数学において媒介変数(ばいかいへんすう、パラメータ、パラメタ、parameter)とは、主たる変数(自変数)あるいは関数に対して補助的に用いられる変数のことである。なおこの意味でのパラメータは助変数(じょへんすう)とも呼び、また古くは径数(けいすう)とも訳された(後者はリー群の一径数部分群(1-パラメータ部分群)などに残る)。母数と呼ぶこともある。 媒介変数の役割にはいくつかあるがその主なものとして、主たる変数たちの間に陰に存在する関係を記述すること、あるいはいくつもの対象をひとまとまりのものとして扱うことなどがある。前者では関数の媒介変数表示とか陰関数などとよばれるもの、後者では集合族とか数列などが一つの例である。後者の意味を持つ媒介変数はしばしば文字の肩や斜め下に本文より少し小さな文字 (script style) で書かれ、添字 (index) と呼ばれる。.

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小倉金之助

小倉 金之助(おぐら きんのすけ、1885年(明治18年)3月14日 - 1962年(昭和37年)10月21日)は、日本の数学者、数学史家、随筆家である。山形県酒田市生まれ。.

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岡部恒治

岡部 恒治(おかべ つねはる、1946年 - )は、日本の数学者。埼玉大学経済学部名誉教授。.

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川北朝鄰

川北 朝鄰(かわきた ともちか、1840年6月15日(天保11年5月16日) - 1919年(大正8年)2月22日)は、関流七伝免許皆伝の和算家で、参謀本部陸地測量部の測量官を務めた陸軍技師。.

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中村滋

中村 滋(なかむら しげる)とは、.

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平面

平面(へいめん、plane)とは、平らな表面のことである広辞苑 第五版、p.2395「平面」。平らな面。 一般的には曲面や立体などと対比されつつ理解されている。.

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幾何学

最先端の物理学でも用いられるカラビ-ヤウ多様体の一種。現代幾何学では図も書けないような抽象的な分野も存在する。 幾何学(きかがく、)は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である広辞苑第六版「幾何学」より。イエズス会マテオ・リッチによる geometria の中国語訳である。以前は geometria の冒頭の geo- を音訳したものであるという説が広く流布していたが、近年の研究により否定されている。 もともと測量の必要上からエジプトで生まれたものだが、人間に認識できる図形に関する様々な性質を研究する数学の分野としてとくに古代ギリシャにて独自に発達しブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。、これらのおもな成果は紀元前300年ごろユークリッドによってユークリッド原論にまとめられた。その後中世以降のヨーロッパにてユークリッド幾何学を発端とする様々な幾何学が登場することとなる。 幾何学というとユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学が一般には馴染みが深いであろうが、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している。 現代の日本の教育では、体系的な初等幾何学はほぼ根絶されかけたが、近年、中・高の数学教育で線型幾何/代数幾何を用いない立体を含む、本格的な綜合幾何は見直されつつある。.

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二次曲面

二次超曲面(にじちょうきょくめん、quadric surface)とは、円錐曲線の概念を一般次元ユークリッド空間 Rn に拡張したものであり、2次多項式の零点集合として表されるような超曲面のことをさす。3次元空間における二次超曲面は二次曲面ともよばれる。.

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ペルガのアポロニウス

ペルガのアポロニウス(Ἀπολλώνιος, Apollonius Pergaeus, Apollonius of Perga、紀元前262年頃 - 紀元前190年頃)はギリシャの数学者・天文学者である。小アジアの町ペルガに生まれた。アレキサンドリアでプトレマイオス3世およびプトレマイオス4世の時代に活躍した。現トルコのペルガモンでしばらく暮らしたとされる。アレキサンドリアで没した。.

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ユークリッド空間

数学におけるユークリッド空間(ユークリッドくうかん、Euclidean space)は、エウクレイデス(ユークリッド)が研究したような幾何学(ユークリッド幾何学)の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や(三次元)ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、(標準的なモデルを与えるものという意味で)しばしば とかかれるが、(余分な構造を想起させない)ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.

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ヨハネス・ケプラー

ヨハネス・ケプラー(Johannes Kepler、1571年12月27日 - 1630年11月15日)はドイツの天文学者。天体の運行法則に関する「ケプラーの法則」を唱えたことでよく知られている。理論的に天体の運動を解明したという点において、天体物理学者の先駆的存在だといえる。一方で数学者、自然哲学者、占星術師という顔ももつ。欧州補給機(ATV)2号機、アメリカ航空宇宙局の宇宙望遠鏡の名前に彼の名が採用されている。.

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レオンハルト・オイラー

レオンハルト・オイラー(Leonhard Euler, 1707年4月15日 - 1783年9月18日)は、18世紀の数学者・天文学者(天体物理学者)。 18世紀の数学の中心となり、続く19世紀の厳密化・抽象化時代の礎を築いた 日本数学会編『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「オイラー」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541 。スイスのバーゼルに生まれ、現在のロシアのサンクトペテルブルクにて死去した。.

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ブレーズ・パスカル

ブレーズ・パスカル(Blaise Pascal、1623年6月19日 - 1662年8月19日)は、フランスの哲学者、自然哲学者、物理学者、思想家、数学者、キリスト教神学者である。 早熟の天才で、その才能は多分野に及んだ。ただし、短命であり、三十代で逝去している。死後『パンセ』として出版されることになる遺稿を自身の目標としていた書物にまとめることもかなわなかった。 「人間は考える葦である」などの多数の名文句やパスカルの賭けなどの多数の有名な思弁がある遺稿集『パンセ』は有名である。その他、パスカルの三角形、パスカルの原理、パスカルの定理などの発見で知られる。ポール・ロワヤル学派に属し、ジャンセニスムを代表する著作家の一人でもある。 かつてフランスで発行されていた500フラン紙幣に肖像が使用されていた。.

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ピエール・ド・フェルマー

ピエール・ド・フェルマー ピエール・ド・フェルマー(Pierre de Fermat、1607年末または1608年初頭 - 1665年1月12日)はフランスの数学者。「数論の父」とも呼ばれる。ただし、職業は弁護士であり、数学は余暇に行ったものである。.

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切断

切断(せつだん)とは、切ること。切る、カット を参照。.

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エウクレイデス

ラファエロの壁画「アテナイの学堂」に画かれたエウクレイデス アレクサンドリアのエウクレイデス(、、(ユークリッド)、紀元前3世紀? - )は、古代ギリシアの数学者、天文学者とされる。数学史上最も重要な著作の1つ『原論』(ユークリッド原論)の著者であり、「幾何学の父」と称される。 プトレマイオス1世治世下(紀元前323年-283年)のアレクサンドリアで活動した。『原論』は19世紀末から20世紀初頭まで数学(特に幾何学)の教科書として使われ続けた。線の定義について、「線は幅のない長さである」、「線の端は点である」など述べられている。基本的にその中で今日ユークリッド幾何学と呼ばれている体系が少数の公理系から構築されている。エウクレイデスは他に光学、透視図法、円錐曲線論、球面天文学、誤謬推理論、図形分割論、天秤などについても著述を残したとされている。 なお、エウクレイデスという名はギリシア語で「よき栄光」を意味する。その実在を疑う説もあり、その説によると『原論』は複数人の共著であり、エウクレイデスは共同筆名とされる。 確実に言えることは、彼が古代の卓越した数学者で、アレクサンドリアで数学を教えていたこと、またそこで数学の一派をなしたことである。ユークリッド幾何学の祖で、原論では平面・立体幾何学、整数論、無理数論などの当時の数学が公理的方法によって組み立てられているが、これは古代ギリシア数学の一つの成果として受け止められている。.

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ケプラーの法則

プラーの法則(ケプラーのほうそく)は、1619年にヨハネス・ケプラーによって発見された惑星の運動に関する法則である。.

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サケ類

産卵期に他のオスとの争いや河川への遡上で傷だらけになり、皮が白く変色し、背と腹の肉の一部がむき出しになったサケ(シロザケ)のオス(上) サケ類は、単にサケまたはシャケともいい、サケ目の唯一の科であるサケ科に属するものあるいはそのうちサケ属に属する魚類の総称。狭義にはサケ(鮭)は、サケ属のサケ(シロザケ、学名:Oncorhynchus keta)を指すが、広義にはシロザケ以外にも、タイセイヨウサケ(アトランティックサーモン)、ベニザケ、ギンザケ、キングサーモン などの仲間を総称する。.

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円 (数学)

数学において、円(えん)とは、平面(2次元ユークリッド空間)上の、定点 O からの距離が等しい点の集合でできる曲線のことをいう。ここで現れる定点 O を円の中心と呼ぶ。円には、その中心が1つあり、また1つに限る。中心から円周上の 1 点を結んだ線分を輻(や)とよび、その長さを半径というが、現在では輻のことを含めて半径と呼ぶことが多い。中心が点 O である円を、円 O と呼ぶ。定幅図形の一つ。 円が囲む部分、すなわち円の内部を含めて円ということもある。この場合は、曲線のことを円周という。これに対して、内部を含めていることを強調するときには円板という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して、円形ということもある。 数学以外の分野ではこの曲線のことを「丸(まる)」という俗称で呼称することがある。 円: 中心、半径・直径、円周.

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円錐

円錐(えんすい、cone)とは、円を底面として持つ状にとがった立体のことである。.

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種数

数(しゅすう、genus; ジーナス)は、数学用語で、分野によって似通っているがいくらか異なる意味を持つ。なお、genus の複数形は genera。.

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直交行列

交行列(ちょっこうぎょうれつ, )とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまりn × n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、MTM.

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飯高茂

飯高 茂(いいたか しげる、1942年5月29日 - )は、日本の数学者(理学博士)、学習院大学名誉教授。専門は代数幾何学。.

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解析幾何学

初等幾何学における解析幾何学(かいせききかがく、analytic geometry)あるいは座標幾何学(ざひょうきかがく、coordinate geometry)、デカルト幾何学(デカルトきかがく、Cartesian geometry)は、座標を用いて代数的解析幾何学という名称における接頭辞「解析」は、微積分学を含む現代的な解析学という意味の「解析」ではなく、発見的な代数的手法によるものであることを示唆するものである。(解析幾何学 - コトバンク)に図形を調べる幾何学をいう。座標を用いるという点において、(より古典的な、ユークリッドの原論にもあるような)点や直線などがどのような公理に従うかということのみによって図形を調べる とは対照的である。座標を利用することにより、図形のもつ性質を座標のあいだにあらわれる関係式として特徴づけたり、数や式として図形を取り扱ったりすることができる。 ふつうは(二次元)平面上の点、直線などを扱う(平面解析幾何)か(三次元)空間内のそれらを扱う(立体解析幾何)。.

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軌道 (力学)

2つの異なる質量の物体が、同じ重心の周りの軌道を回っている 軌道(きどう、orbit)とは力学において、ある物体が重力などの向心力の影響を受けて他の物体の周囲を運動する経路を指す。.

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離心率

離心率(りしんりつ)とは、円錐曲線(二次曲線)の特徴を示す数値のひとつである。.

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陰関数

数学の特に解析学における陰函数(いんかんすう、implicit function; 陰伏函数)は、陰伏方程式すなわち適当な多変数函数(しばしば多変数多項式) によって の形に表される関係によって(その函数の引数のうちの一つの変数のを残りの変数に関係付けることによって)陰伏的 (implicitly) に定義される函数を言う。 例えば、単位円を定める陰伏方程式は であり、このときの に対する陰函数 は、 によって陰伏的に定められる。この陰伏方程式が、 の連続函数として を定めるのは に対してのみ、かつ函数の値として非負の値のみ(あるいは非正の値のみ)を取るものとしたときである(非負または非正の二つの連続な枝がある)。陰函数定理はこのような関係がいつ陰伏函数を定義するのかという十分条件を与えるものである。 が多変数多項式であるときの なる形の関係に対して、この関係を満足する変数の値の組全体の成す集合を、 のときは陰伏曲線、 のときはと呼ぶ。このような陰伏方程式は代数幾何学の基盤であり、古典的な代数幾何学では多項式の零点を記述する陰伏方程式からなる連立方程式の解を研究する。そのようなはアフィン代数的集合と呼ばれる。 微分方程式の解は一般には陰函数の形で得られる。.

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極座標系

極座標系(きょくざひょうけい、polar coordinates system)とは、n 次元ユークリッド空間 R 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ, …, θ からなる座標系のことである。点 S(0, 0, x, …,x) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。.

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楕円

楕円(だえん、橢円とも。ellipse)とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。基準となる2定点を焦点という。円錐曲線の一種である。 2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が一致したとき楕円はその点を中心とした円になる。そのため円は楕円の特殊な場合であると考えることもできる。 楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。.

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有理点

数論において有理点(ゆうりてん、rational point)とは、各座標の値が全て有理数であるような空間の点を言う。 例えば、点 (3, −67/4) は 3 も −67/4 も有理数であるため、2次元空間内の有理点である。有理点の特別な場合は、(integer point)、つまり、その座標が全て整数の点である。例えば、(1, −5, 0) は 3次元空間内の整数点である。より一般的に K を任意の体とするとき、K-有理点は点の各々の座標が体 K に属するような点と定義される。K-有理点に対応する特別な場合は K-整数点、すなわち各座標が(数体) K 内の代数的整数の環の元である場合である。.

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有理関数

数学における有理関数(ゆうりかんすう、rational function)は、二つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として書ける関数の総称である。抽象代数学においては変数と不定元とを区別するので、後者の場合を有理式と呼ぶ。.

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有理数

有理数(ゆうりすう、rational number) とは、二つの整数 a, b (ただし b は 0 でない)をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b.

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断面

色い線が断面を表している 断面(だんめん、cross-section)は、ある3次元の物体を切断したときに現れる2次元の面のことである。 横断方向に切断したものは横断面(おうだんめん)とも言う。 数学では、立体と平面が交わってできる面と定義される。断面の面積を断面積(だんめんせき)とよぶ。 物体の断面を表した図を断面図(だんめんず)と呼び、横断面を表したものを横断図または横断面図、縦断方向の断面を表した図を縦断図または縦断面図と呼ぶ。 断面図は、物体の内部を表現するのによく用いられる手法である。製図では、伝統的に断面の部分には斜線(クロスハッチ)が描かれる。.

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放物線

放物線(ほうぶつせん、希:παραβολή「parabolē」、羅、英: parabola、独: Parabel)とは、その名の通り地表(つまり重力下)で投射した物体の運動(放物運動)が描く軌跡のことである。 放物線をその対称軸を中心として回転させた曲面を放物面という。.

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曲線

数学における曲線(きょくせん、curve, curved line)は、一般にまっすぐとは限らない幾何学的対象としての「線」を言う。 つまり、曲線とは曲率が零とは限らないという意味での直線の一般化である。 数学の様々な分野において、その研究領域に応じたそれぞれやや異なる意味で「曲線」の語が用いられる(から、精確な意味は文脈に即して捉えるべきである)が、それらの意味の多くは以下に挙げる定義の特別な実例になっているはずである。すなわち、曲線とは局所的に直線と同相であるような位相空間を言う。それは日常語で言えば、曲線は点の集合であって、それらの点が十分近くであれば直線のように見えるが、変形があってもよいというような意味である。数学の各分野で扱われる。 最初に触れる曲線の簡単な例というのはほとんどの場合「平面曲線」(例えば平らな紙の上に描いた曲がった線)であろうが、螺旋のように三次元的なものもある。幾何学的な必要性や、例えば古典力学からの要請で任意次元の空間に埋め込まれた曲線の概念も必要とされる。一般相対論において世界線とは時空内の曲線である。; 注: 一般用語として、「曲線」が(成長曲線やフィリップス曲線の例に見るように)函数のグラフ、あるいはより多様なの意味で用いられることがあるが、本項で言う意味とは(近い関連はあるにせよ)異なるものと理解すべきである。.

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2次曲線二次曲線半通径

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