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二次体

索引 二次体

二次体 (にじたい、quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、\scriptstyle\mathbb(\sqrt) と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d \mathbb(\sqrt) は、d.

24 関係: 巡回群一意分解環平方剰余の相互法則二次形式代数体ペル方程式ユークリッド環レオポルト・クロネッカーヒルベルトの第12問題デデキントゼータ関数ディリクレ指標ディオファントス方程式アラン・ベイカーカール・フリードリヒ・ガウスカール・ジーゲルガロア群ガロア拡大での素イデアルの分解クロネッカー・ウェーバーの定理円分体素イデアル留数L-函数有理数整数環

巡回群

群論における巡回群(じゅんかいぐん、cyclic group、monogenous group)とは、ただ一つの元で生成される群(単項生成群)のことである。ここで群が「ただ一つの元で生成される」というのは、その群の適当な元 g をとれば、その群のどの元も(群が乗法的に書かれている場合は)g の整数冪として(群が加法的に書かれている場合は g の整数倍として)表されるということであり、このような元 g はこの群の生成元 (generator) あるいは原始元 (primitive) と呼ばれる。.

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一意分解環

数学における一意分解環(いちいぶんかいかん、unique factorization domain,UFD; 一意分解整域)あるいは素元分解環(そげんぶんかいかん)は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに(特別の例外を除く)各元が素元(あるいは既約元)の積に一意的に書くことができるような可換環のことである。ブルバキの語法にしたがってしばしば分解環 (anneau factriel) とも呼ばれる。 環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。.

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平方剰余の相互法則

整数論』(1801年)で平方剰余の相互法則の最初の証明を公開した。 (へいほうじょうよ、quadratic residue)とは、ある自然数を法としたときの平方数のことであり、平方剰余の相互法則(へいほうじょうよのそうごほうそく、quadratic reciprocity)は、ある整数 が別の整数 の平方剰余であるか否かを判定する法則である。.

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二次形式

数学における二次形式(にじけいしき、quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。たとえば は変数 x, y に関する二次形式である。 二次形式は数学のいろいろな分野(数論、線型代数学、群論(直交群)、微分幾何学(リーマン計量)、微分位相幾何学(四次元多様体の交叉形式)、リー理論(キリング形式)など)で中心的な位置を占める概念である。.

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代数体

代数体(だいすうたい、algebraic number field)とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。 K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。 このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を \mathbb 上のベクトル空間とみたとき、\ は基底となる。.

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ペル方程式

ペル方程式(ペルほうていしき、Pell's equation)とは、 を平方数ではない自然数として、未知整数, について の形のディオファントス方程式である。 ペル方程式の一般的な解法は、1150年にインドのバースカラ2世が見つけている。彼はブラーマグプタのを改良した解法を使い、同じ技法を応用して不定二次方程式や二次ディオファントス方程式の一般解も見つけた。西洋におけるペル方程式の一般的な解法は、ウィリアム・ブランカーが発見した。しかし、オイラーはこの方程式を研究したのはジョン・ペルであると誤解し「ペル方程式」と命名したため、その名前が広く使われるようになった。.

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ユークリッド環

数学の特に抽象代数学および環論におけるユークリッド整域(ユークリッドせいいき、Euclidean domain)あるいはユークリッド環(ユークリッドかん、Euclidean ring)とは、「ユークリッド写像(次数写像)」とも呼ばれるある種の構造を備えた環で、そこではユークリッドの互除法を適当に一般化したものが行える。この一般化された互除法は整数に対するもともとの互除法アルゴリズムとほとんど同じ形で行うことができ、任意のユークリッド環において二元の最大公約数を求めるのに適用できる。特に、任意の二元に対してそれらの最大公約数は存在し、それら二元の線型結合として書き表される(ベズーの等式)。また、ユークリッド環の任意のイデアルは主イデアル(つまり、単項生成)であり、したがって算術の基本定理の適当な一般化が成立する。すなわち、任意のユークリッド環は一意分解環である。 ユークリッド環のクラスをより大きな主イデアル環 (PID) のクラスと比較することには大いに意味がある。勝手な PID はユークリッド環(あるいは実際には有理整数環を考えるので十分だが)と多くの「構造的性質」を共有しているが、しかしユークリッド環には明示的に与えられるユークリッド写像から得られる具体性があるのでアルゴリズム的な応用に有用である。特に、有理整数環や体上一変数の任意の多項式環が容易に計算可能なユークリッド写像を持つユークリッド環となることは、計算代数において基本的に重要な事実である。 そういったことから、整域 が与えられたとき、 がユークリッド写像を持つことがわかるとしばしば非常に便利なのである。特に、そのとき が PID であることが分かるが、しかし一般にはユークリッド写像の存在が「明らか」でないときに が PID かどうかを決定する問題は、それがユークリッド環であるかどうかの決定よりも容易である。.

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レオポルト・クロネッカー

レオポルト・クロネッカー(Leopold Kronecker, 1823年12月7日 - 1891年12月29日)はドイツの数学者である。リーグニッツ(現在のポーランド・レグニツァ Legnica)生まれ。ユダヤ系。 彼は、ヤコビ、ディリクレ、アイゼンシュタイン、クンマーといったドイツの先達の後に立って、また、パリ滞在中にエルミートなどの影響によって、群論、モジュラー方程式、代数的整数論、楕円関数、また行列式の理論において大きな業績を残した。クロネッカーの名前は現在でも、クロネッカーのデルタ、クロネッカー積、クロネッカー=ウェーバーの定理、クロネッカーの青春の夢などに見ることができる。.

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ヒルベルトの第12問題

ネッカーの青春の夢 (Kronecker's Jugendtraum) またはヒルベルトの第12問題(ヒルベルトのだい12もんだい、Hilbert's twelfth problem; ヒルベルトの23の問題より)は、「代数体のアーベル拡大は、もとの体に適当な解析函数の特殊値を添加してできる拡大体に含まれなければならない」という代数体のアーベル拡大を具体的に構成する方法を問う問題である。 有理数体にたいしては、そのアーベル拡大は円分体にふくまれるというクロネッカー・ウェーバーの定理が知られており、円分体は1のべき根により生成されるという具体的な構成法があたえられる。 虚数乗法の古典的な理論は「クロネッカーの青春の夢」として知られており、上の問題において代数体として虚二次体を選んだ場合の解答である。クロネッカーは、気に入った青春の夢 liebster Jugendtraum として、虚数乗法の考えを次のように書き表した。 ヒルベルトは、1900年8月8日にパリで開催された第2回国際数学者会議 (ICM) の講演において、本問題に関して次のように述べている。.

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デデキントゼータ関数

デデキントゼータ関数(-かんすう、Dedekind's zeta function)とは、 代数体 K に対して で表される関数のことをいう。但し、和は K の整イデアル全てを動き、\scriptstyle N\mathfrak は整イデアル \mathfrak のノルムである。従って、デデキントゼータ関数は、ヘッケのL関数の特別な場合である。 特に、K が有理数体のとき、リーマンゼータ関数になる。 与えられた整数 n に対して、ノルムが n である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、 デデキントゼータ関数は、 と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。 デデキントゼータ関数は、\scriptstyle\operatorname\ s>1 に対して、絶対かつ一様収束する。従って、\scriptstyle\operatorname\ s>1 で、\zeta_K(s) は正則関数である。.

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ディリクレ指標

ディリクレ指標(でぃりくれしひょう)とは、ディリクレがL関数を定義する際に導入した整数から複素数への関数である。.

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ディオファントス方程式

ディオファントス方程式(ディオファントスほうていしき、Diophantine equation)とは、整係数多変数高次不定方程式である。文脈として、整数解や有理数解を問題にしたい場合に用いられる用語であり、主に数論の研究課題と考えられている。古代アレクサンドリアの数学者ディオファントスの著作『算術』で、その有理数解が研究されたのにちなんだ名称である。.

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アラン・ベイカー

アラン・ベイカー(Alan Baker、1939年8月19日 – 2018年2月4日)はロンドン出身のイギリスの数学者。王立協会フェロー。数論、特に超越数の理論の研究で知られる。1970年、31歳の時に、ディオファントス方程式に関する功績により、フィールズ賞を受賞した。彼はユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンのの下で数学の研究を始め、後にケンブリッジ大学に移った。専門は他になどである。教え子にジョン・コーツらがいる。 1966年-1968年にかけて、アラン・ベイカーによって発表された『ベイカーの定理』とは、「対数関数の一次形式に対する線形独立性、および下界の評価に関する定理」で、多くの不定方程式について、整数解が有限個しか存在せず、しかもそれらは有効的に計算可能であることを示した。また、類数が 1, 2 である虚二次体の決定の際にも使用される等、数論の様々なところで応用されている。.

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カール・フリードリヒ・ガウス

Disquisitiones Arithmeticae のタイトルページ ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス(; Johann Carl Friedrich Gauß, Carolus Fridericus Gauss, 1777年4月30日 - 1855年2月23日)は、ドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼の研究は広範囲に及んでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。数学の各分野、さらには電磁気など物理学にも、彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。19世紀最大の数学者の一人である。.

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カール・ジーゲル

ール・ルートヴィヒ・ジーゲル(Carl Ludwig Siegel, 1896年12月31日 - 1981年4月4日)は、ドイツの数学者。整数論、複素関数論、保型関数論、天体力学(三体問題)などを専攻。.

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ガロア群

ア群(英:Galois Group)とは、代数方程式または体の拡大から定義される群のことである。発見者であるフランスの数学者エヴァリスト・ガロアから命名された。これらの群を用い方程式などの数学的対象について研究する分野をガロア理論と呼ぶ。.

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ガロア拡大での素イデアルの分解

数学において、代数体 のガロア拡大 のガロア群 と整数環 の素イデアル を の素イデアルの積として分解する方法との間の関係は、代数的整数論の最も豊かな部分のひとつとなっている。ガロア拡大における素イデアルの分解は、ダフィット・ヒルベルトが貢献しているので、ヒルベルトの理論 (Hilbert theory) と呼ばれる。リーマン面の分岐被覆に対し、幾何学的な類似も存在していて、素イデアルの分解を考えるよりも の部分群の一種を考えることのほうがより容易である。この問題は、ヒルベルトよりも前から確かに知られてはいた。.

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クロネッカー・ウェーバーの定理

代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。例えば、 である。この定理の名前はレオポルト・クロネッカー (Leopold Kronecker) と (Heinrich Martin Weber) に因んでいる。.

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円分体

円分体 (えんぶんたい、cyclotomic field) は、有理数体に、1 の m(>2) 乗根 \scriptstyle\zeta(\ne\pm 1) を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。 以下において、特に断らない限り、\zeta_n.

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素イデアル

素イデアル(prime ideal)は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数(素元)の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環(一般に)のすべてのゼロでない(整)イデアルは、素イデアルの有限個の積として(順序を除いて)一意的に書ける(イデアル論の基本定理)。スキームの理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。.

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留数

数学、殊に複素解析学における留数(りゅうすう、residue)は、孤立特異点を囲む経路に沿う有理型関数の複素線積分により得られる複素数である。.

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L-函数

数学で、L-函数(L-function)は複素平面上の有理型函数であり、いくつかの数学的対象のカテゴリから出てくる有理型函数に付帯している。L-級数(L-series)は、ディリクレ級数であり、大抵は半平面上で収束し、解析接続を通してL-函数を導くとみられる。 L-函数の理論は、非常に重要であり、未だ予想の段階のものも多く、現代の解析的整数論の分野である。そこでは、リーマンゼータ函数や、ディリクレ指標におけるL-級数の、広い一般化が構成されており、それらの一般的性質は、大半の場合が証明されていなく、系統的な方法なく研究されている。.

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有理数

有理数(ゆうりすう、rational number) とは、二つの整数 a, b (ただし b は 0 でない)をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b.

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整数環

数学において,代数体 の整数環(せいすうかん,ring of integers)とは, に含まれるすべての整な元からなる環である.整な元とは有理整数係数の単多項式 の根である.この環はしばしば あるいは \mathcal O_K と書かれる.任意の有理整数は に属し,その整元であるから,環 はつねに の部分環である. 環 は最も簡単な整数環である.すなわち, ただし は有理数体である.

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