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バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

索引 バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

数学において、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想 (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) は数論の分野における未解決問題である。略してBSD予想 (BSD conjecture) と呼ばれる。それは最もチャレンジングな数学の問題の 1 つであると広く認められている。予想はクレイ数学研究所によってリストされた 7 つのミレニアム懸賞問題の 1 つとして選ばれ、最初の正しい証明に対して100万ドルの懸賞金が約束されている。予想は機械計算の助けを借りて1960年代の前半に予想を立てた数学者ブライアン・バーチ (Bryan Birch) とピーター・スウィンナートン=ダイアー (Peter Swinnerton-Dyer) にちなんで名づけられている。、予想の特別な場合のみ正しいと証明されている。 予想は代数体 K 上の楕円曲線 E に伴う数論的データを E の ハッセ・ヴェイユの ''L''-関数 L(E, s) の s.

48 関係: Annals of Mathematics基底 (線型代数学)ねじれ群同型写像合同数岩澤理論の主予想巡回群不変量一般化されたリーマン予想平方因子をもたない整数二次形式二次体代数体位数 (群論)ミレニアム懸賞問題ハッセ・ヴェイユのゼータ函数モーデルの定理リーマン予想リーマンゼータ関数ヘルムート・ハッセヒーグナー点テイラー展開ディリクレのL関数アーベル群アーベル群のランクアーベル拡大イデアル類群オイラー積クレレ誌クレイ数学研究所シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディアジョン・テイト素数直積EDSAC階数解析接続谷山–志村予想集合逆数虚数乗法L-函数楕円曲線標準的高さ有理点懸賞金数学数論

Annals of Mathematics

Annals of Mathematics (略記は Ann. Math. または、Ann. of Math.) はプリンストン大学及び プリンストン高等研究所から隔月発行される数学誌。インパクトファクターなどの基準では、世界で最も権威ある数学誌に位置づけられる。.

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基底 (線型代数学)

線型代数学における基底(きてい、basis)は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの(有限個の)線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は(基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして)「座標系」を定めるようなベクトルの集合である。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。 ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ(ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である)。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数(濃度)のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。.

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ねじれ群

群論における捩れ群(ねじれぐん、torsion group)または周期群(しゅうきぐん、periodic group)はその各元が有限位数を持つ群を言う。 任意の有限群は周期的である。なお、周期群と巡回群とは違うものである。; 定義: ねじれ群 に対して、そのすべての元の位数の最小公倍数を(存在すれば) の冪数 (exponent) と呼ぶ。 任意の有限群は冪数を持ち、それは の位数 の約数である。 有限群とねじれ群の間の関係性を扱うは、 が有限生成群とだけ仮定する場合には、古典的な問題である。それは冪数を特定することが有限性を導くかを問うもの(そして一般には答えは「否」)である。 無限ねじれ群の例として、有限体上の多項式環の加法群や、有理数の加法群を整数の加法群で割った商およびそれらの直和因子、プリューファー群などが挙げられる。他にも、二面体群すべての合併などもそうである。以上の例は有限生成でなく、また任意の有限生成ねじれ線型群は有限群になる。有限生成無限周期群の陽な例は、 がと共同で構成した(を参照)。あるいはまた と がオートマトンを用いて構成した。.

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同型写像

数学において,同型写像(isomorphismfrom the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape")あるいは単に同型とは,は準同型写像あるいは射であって,逆射を持つものである逆関数ではない..2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは,それらの間に同型写像が存在することをいう.自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である.同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある.したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい. 群や環を含むほとんどの代数的構造に対して,準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である. 位相幾何学において,射とは連続写像のことであるが,同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる.解析学において,射は可微分関数であり,同型写像は微分同相とも呼ばれる. 標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなである.2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは,それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう.例えば,有限次元ベクトル空間 から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である.一方, は双対空間に同型であるが,一般には標準的にではない. 同型写像は圏論を用いて形式化される.ある圏の射 が同型射であるとは,両側逆射を持つことをいう,すなわち,その圏における別の射 があって, かつ となる,ただし と はそれぞれ と の恒等射である..

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合同数

合同数(ごうどうすう)とは、辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積のことである。例えば、辺の長さが (3, 4, 5) の直角三角形の面積 6 や、(3/2, 20/3, 41/6) の面積 5 は合同数である。しかし、1, 2, 3, 4 は合同数ではない。.

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岩澤理論の主予想

数学では、岩澤理論の主予想 (main conjecture of Iwasawa theory) は、p-進L-函数と円分体のイデアル類群との間の深い関係であり、 でを満たす素数に対して証明され、すべての素数に対しては により証明された。とが両方ともこの主予想より容易に導ける結果である。 この主予想にはいくつかの一般化があり、総実体や CM体や、楕円曲線などへ一般化される。.

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巡回群

群論における巡回群(じゅんかいぐん、cyclic group、monogenous group)とは、ただ一つの元で生成される群(単項生成群)のことである。ここで群が「ただ一つの元で生成される」というのは、その群の適当な元 g をとれば、その群のどの元も(群が乗法的に書かれている場合は)g の整数冪として(群が加法的に書かれている場合は g の整数倍として)表されるということであり、このような元 g はこの群の生成元 (generator) あるいは原始元 (primitive) と呼ばれる。.

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不変量

不変量(ふへんりょう、invariant)とは、数学的対象を特徴付ける別種の数学的対象のことである。一般に、不変量は数や多項式など、不変量同士の同型性判定がもとの対象の同型性判定より簡単であるものをとる。良い不変量とは、簡単に計算でき、かつなるべく強い同型性判別能力をもつものである。.

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一般化されたリーマン予想

数学では、リーマン予想は最も重要な予想の一つである。リーマン予想は、リーマンゼータ函数のゼロ点に関する予想である。様々な幾何学的、数論的対象がいわゆる大域的L-函数により記述することができる。大域的L-函数は形式的にはリーマンゼータ函数と似ているので、これらのL-函数のゼロ点に対しての同じ問いを投げかけると、リーマン予想の様々な一般化が得られる。多くの数学者はこれらの一般化されたリーマン予想が正しいと信じている。(数体の場合ではなく)函数体の場合のみが、すでにこれらの予想が証明されている。 大域的L-函数は、楕円曲線や数体(この場合は、デデキントゼータ函数と呼ばれる)、マース形式やディリクレ指標(この場合はディリクレのL-函数と呼ばれる)に付随している。リーマン予想がデデキントのゼータ函数に対して定式化されているとき、拡張されたリーマン予想(EGH)(extended Riemann hypothesis)として知られていて、ディリクレのL-函数に対して定式化されているときに、一般化されたリーマン予想(GRH)(generalized Riemann hypothesis)として知られている。これらの 2つの予想は以下にさらに詳しく議論する。(多くの数学者は、一般化されたリーマン予想という名称を、ただ単にディリクレのL-函数という特殊な場合だけではなく、全ての大域的なL-函数へリーマン予想を拡張したものとして使う。).

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平方因子をもたない整数

数学において、無平方数(むへいほうすう、square-free integer)または平方因子を持たない整数 (integer without square factors) とは、平方因子を持たない数、すなわち より大きい完全平方で割り切れないような整数(通例として正の整数)をいう。与えられた整数が無平方数であるとき、その整数は無平方 (square-free) であるともいう。例えば、10 は無平方だが、18 は 9.

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二次形式

数学における二次形式(にじけいしき、quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。たとえば は変数 x, y に関する二次形式である。 二次形式は数学のいろいろな分野(数論、線型代数学、群論(直交群)、微分幾何学(リーマン計量)、微分位相幾何学(四次元多様体の交叉形式)、リー理論(キリング形式)など)で中心的な位置を占める概念である。.

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二次体

二次体 (にじたい、quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、\scriptstyle\mathbb(\sqrt) と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d \mathbb(\sqrt) は、d.

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代数体

代数体(だいすうたい、algebraic number field)とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。 K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。 このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を \mathbb 上のベクトル空間とみたとき、\ は基底となる。.

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位数 (群論)

数学の分野である群論において、m.

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ミレニアム懸賞問題

ミレニアム懸賞問題(ミレニアムけんしょうもんだい、)とは、アメリカのクレイ数学研究所によって2000年に発表された100万ドルの懸賞金がかけられている7つの問題のことである。そのうち1つは解決済み、6つは2015年8月末の時点で未解決である。ミレニアム賞問題、ミレニアム問題とも呼ばれる。.

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ハッセ・ヴェイユのゼータ函数

ハッセ・ヴェイユのゼータ函数(Hasse–Weil zeta function)とは、数学において最も重要な L-函数のうちの一つである。これは代数体上の代数多様体にたいして定義される複素関数である。これは各素数ごとの因子である局所ゼータ函数の無限積オイラー積として定義される。ハッセ・ヴェイユゼータ函数は、大域的L-函数の 2つの大きなクラスの一つで、他は保型表現に付随する L-函数である。予想としては、ハッセ・ヴェイユのゼータ関数全体と保型表現からさだまる全体の間に対応があると考えられており、これは谷山志村予想の非常に大きな一般化である。 オイラー積の有限個の要素を除外したハッセ・ヴェイユゼータ函数の記述は比較的単純である。これはヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) とアンドレ・ヴェイユ (André Weil) が初めて示唆した。代数多様体が一点の場合、有理数体上ならリーマンゼータ函数、一般の代数体ならデデキントゼータ関数に対応し、これを一般化したものとなる。 話を単純にするため、有理数体上の代数多様体 にたいして、そのハッセ・ヴェイユゼータ函数を説明する。 が非特異射影多様体のとき、素数 に対し、 を法として の還元を考える。 個の元を持つ有限体 上の代数多様体 はまさに の方程式を還元することにより得られる。ほとんど全ての に対して、 は非特異となる。複素変数 のディリクレ級数として局所ゼータ函数 の無限積として を定義する。 すると、 は、定義に従い、有限個の の有理函数による乗法のみを除外して well-defined である。 この有理函数による乗法の不定性は比較的実害がない。たとえば有理型函数として解析接続することができるので、 が有理型函数に解析接続されるという性質はこの不定性に依存しない。また函数等式についても、函数等式の対称軸の正確な位置は悪い因子に依存するものの、函数等式が存在する事自体にはいくつかの因子を除いた事は影響しない。 エタールコホモロジーの発展により、正確な定義が可能となった。とくに、悪い還元に対応するオイラー因子が何かということを説明することができる。分岐理論で理解される一般原理に従うと、悪い素数では導手の理論のような良い情報を持っている。をもつ素数 においてはにより のエタールコホモロジー上のガロア表現 は不分岐である。このため、局所ゼータ函数の定義は、 の特性多項式の項で再現できる。ここの は に対するフロベニウス元である。悪い還元をもつ素数 では、 が に対する惰性群 上非自明な作用をもつ。これらの素数では、惰性群がとして作用するような表現 の最も大きな商をとることによってオイラー因子をさだめる。このようにして、 の定義はほとんど全ての から全ての へ、オイラー積が整合性をもつようにうまくアップグレードすることができる。函数等式の結果は1960年代後半にセール (Serre) とドリーニュ (Deligne) により完成され、函数等式自体は一般的に証明されていない。.

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モーデルの定理

数学におけるモーデルの定理(モーデルのていり、Mordell's theorem)とは、有理数体 Q 上の楕円曲線 E の有理点と無限遠点 O のなすアーベル群 E(Q) が有限生成になる、という定理である。有限生成アーベル群の基本定理から有限生成アーベル群は次に同型であることが知られている。 ここで \mathbb は有限アーベル群(ねじれ部分群)である。(r は E の階数(ランク)と呼ばれ、関連する予想にミレニアム懸賞問題のBSD予想がある。) 有限生成アーベル群 E(Q) の場合、ねじれ部分群 A は次のいずれかに同型となる。 モーデルの定理は後にアンドレ・ヴェイユによって代数体上のアーベル多様体の有理点のなす群に関するモーデル・ヴェイユの定理へと拡張された。.

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リーマン予想

1.

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リーマンゼータ関数

1.

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ヘルムート・ハッセ

ヘルムート・ハッセ(独: Helmut Hasse、1898年8月25日 - 1979年12月26日)はドイツの数学者であり、代数的整数論を主に研究し、類体論の基礎、局所類体論やディオファントス幾何学(ハッセの原理)や合同ゼータ関数へのP進数の適用で知られている。.

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ヒーグナー点

数学において、ヒーグナー点(ヘーグナー点)(Heegner point)とは、モジュラー曲線上の点であって、上半平面の quadratic imaginary point の像となっているようなものである。 (Bryan Birch) により定義され、 (Kurt Heegner) に因んで名づけられた。ヒーグナーは類数 1 の虚二次体上のガウスの予想を証明するために類似のアイデアを用いた。 グロス・ザギエの定理 は、点 s.

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テイラー展開

数学において、テイラー級数 (Taylor series) は関数のある一点での導関数たちの値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開という。 テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。 関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はと呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間(あるいは複素平面の開円板)でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。.

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ディリクレのL関数

ディリクレのL-関数(ディリクレのエルかんすう、Dirichlet L-function)は、リーマンゼータ関数を一般化したものである。算術級数中の素数の分布の研究に基本的な関数である。実際ディリクレは、初項と公差が互いに素であるような等差数列には無限に素数が含まれること(算術級数定理)を証明するために、この関数を導入した。最も古典的なL-関数であり、単にL-関数と呼ばれることもあるが、数論の発展に伴って類似の性質を持った数論的関数が多く考え出され、それらにもL-関数の名が付されている。 任意の整数 a に対し複素数を対応させる写像で、自然数 N に関して以下を満たす χ を法Nのディリクレ指標と呼ぶ。 このディリクレ指標について、 と L-関数を定義する。この L-関数はオイラー積 をもつ。 L-関数もゼータ関数と同様、全複素数平面上に解析接続され、関数等式をもつ。また、非自明な零点の実部はすべて 1/2 であるという、リーマン予想と同様な予想が考えられておりこれを一般化されたリーマン予想(Generalised Riemann Hypothesis;GRHと略される)と呼ぶ。 その他にも、L-関数にはジーゲルの零点の存在の問題がある。これは実軸上に正の零点が存在するかもしれないという問題で、存在しても高々一つであることが知られているがいまだに解決されていない。この例外的な実零点は、この問題に大きな結果を残したジーゲルにちなんでジーゲルの零点と呼ばれている。この問題のために、リーマンの素数公式の類似である算術級数中の素数分布の有効な公式を得ることができていない。.

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アーベル群

数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群(アーベルぐん、abelian group)または可換群(かかんぐん、commutative group)は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。 アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群(加法群)としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法(例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す)が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。 一般に可換群はに比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。.

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アーベル群のランク

数学において、アーベル群 A のランク (rank)、階数、プリューファーランク (Prüfer rank)、あるいは捩れなしランク (torsion-free rank) は極大線型独立部分集合の濃度である。A のランクは A に含まれる最大の自由アーベル群のサイズを決定する。A が捩れなしであれば次元がランク A の有理数体上のベクトル空間に埋め込まれる。有限生成アーベル群に対して、ランクは強い不変量でありすべてのそのような群はそのランクと捩れ部分群によって同型を除いて決定される。は完全に分類されている。しかしながら、より高いランクのアーベル群の理論はより難解である。 用語ランクは基本アーベル群の文脈では異なる意味を持つ。.

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アーベル拡大

抽象代数学において、ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。 有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。 円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。 体 K が 1 の原始 n 乗根を含み、K のある元の n 乗根が添加されると、この拡大はいわゆるクンマー拡大であり、これはアーベル拡大となる。(K の標数が p > 0 のとき、p は n を割らないと仮定しなければならない。もし割るようであれば、分離拡大ですらないからである。)しかしながら、一般に、元の n 乗根のガロア群は、n 乗根と1の冪根の双方に作用し、半直積として非可換ガロア群を構成する。クンマー理論は、アーベル拡大の場合を完全に記述する。クロネッカー・ウェーバーの定理は、K が有理数体のとき、拡大がアーベル的であるということと、拡大が1の冪根を添加して得られる体の部分体であることとは同値であると言う定理である。 トポロジーにおける基本群との重要な類似がある。基本群は空間の全ての被覆空間を分類する。すなわち、1次ホモロジー群に直接関連付ける基本群のアーベル化により、アーベル被覆が分類される。.

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イデアル類群

数学において,体 に対してイデアル類群(ideal class group)あるいは類群(class group)とは,商群 である,ただし は の分数イデアルの群で, は の単項イデアルからなる部分群である.代数体(あるいはより一般に任意のデデキント環)の整数環における一意分解の成り立たなさをイデアル類群によって記述することができる.この群が有限のとき(代数体の整数環の場合はそうである),その群の位数を類数(class number)と呼ぶ.デデキント環の乗法的理論はそのイデアル類群の構造と密接にかかわっている.例えば,デデキント環のイデアル類群が自明であることとその環が一意分解整域であることは同値である..

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オイラー積

イラー積(-せき、Euler product)はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明したレオンハルト・オイラーの名前にちなむ。ディリクレ級数は以下の式の左辺で定義され、右辺がオイラー積表示である。 a(n) は n に関する乗法的関数、p は全ての素数にわたり、変数 s は複素数である。このような表示が成り立つためには a(n) が a(1).

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クレレ誌

レレ誌もしくは、単にクレレとは数学誌Journal für die reine und angewandte Mathematik (純粋・応用数学雑誌の意)の通称。.

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クレイ数学研究所

レイ数学研究所(クレイすうがくけんきゅうじょ、Clay Mathematics Institute、略称 CMI)は、アメリカ合衆国マサチューセッツ州ケンブリッジに建設された個人的・非営利な施設であり、数学の発展とそれを広めることを目的としている。この研究所は、有望な数学者たちへ様々な賞や賞金を与えている。CMI は、1998年、ハーバード大学の数学者アーサー・ジェイフと、建設の際に投資を行った実業家ランドン・T・クレイによって建設された。.

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シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア

ュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア(Springer Science+Business Media, Springer)は、科学(Science)、技術(Technology、工学など)、医学(Medicine)、すなわちSTM関連の書籍、電子書籍、査読済みジャーナルを出版するグローバル企業である。シュプリンガーはまた、"SpringerLink"(「シュプリンガー・リンク」) 、"SpringerProtocols"(「」) 、"SpringerImages"(「シュプリンガー・イメージ」) 、"SpringerMaterials"(「シュプリンガー・マテリアル」) などいくつかの科学データベース・サービスのホスティングも行っている。 出版物には、参考図書(Reference works、レ(リ)ファレンス・ワークス)、教科書、モノグラフ(Monograph)、(Proceedings)、叢書など多数が含まれる。また、シュプリンガー・リンクには45,000以上のタイトルが自然科学など13の主題・テーマで集められており、それらは電子書籍として利用可能である。シュプリンガーはSTM分野の書籍に関しては世界最大の出版規模を持ち、ジャーナルでは世界第2位である(第1位はエルゼビア)。 多数のインプリントや、20ヶ国に約55の発行所(パブリッシング・ハウス)、5,000人以上の従業員を抱え、毎年約2,000のジャーナル、7,000以上の新書(これにはSTM分野だけではなく、B2B分野のものも含まれる)を発刊している。シュプリンガーはベルリン、ハイデルベルク、ドルトレヒト、ニューヨークに主要オフィスを構える。近年成長著しいアジア市場のために、アジア地域本部を香港に置いており、2005年8月からは北京に代表部を設置している 。 2015年5月、シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディアとマクミラン・サイエンス・アンド・エデュケーションの大半の事業の合併が、欧州連合や米国司法省などの主要な公正競争監視機関により承認された。新会社の名称は「シュプリンガー・ネイチャー(Springer Nature)」。.

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ジョン・テイト

ョン・テイト(John Torrence Tate, 1925年3月13日 - )は、アメリカの数学者。 Emil Artinのもとで1950年プリンストン大学で学位を取得。長年ハーバード大学に勤め、現在はテキサス大学オースティン校教授。ミネソタ州ミネアポリス生まれ。 現在の研究範囲は代数的整数論、類体論、Galois Cohomology、Galois表現、L関数とその特殊値、Modular形式、楕円曲線、Abel多様体.

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素数

素数(そすう、prime number)とは、 より大きい自然数で、正の約数が と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が である自然数と言い換えることもできる。 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。 一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される(そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる)。このため、有理整数環 \mathbb Z での素数は有理素数(ゆうりそすう、rational prime)と呼ばれることもある。 最小の素数は である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる。 素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のユークリッドの著書『原論』で既に証明されていた。 自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。 分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。2018年1月現在で知られている最大の素数は、2017年12月に発見された、それまでに分かっている中で50番目のメルセンヌ素数 であり、十進法で表記したときの桁数は2324万9425桁に及ぶ。.

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直積

数学において、直積を考えられる対象は様々ある。そのうちの一部を以下に挙げる。.

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EDSAC

EDSAC EDSAC(エドサック、Electronic Delay Storage Automatic Calculator)は、初期のイギリスのコンピュータのひとつ。このマシンはジョン・フォン・ノイマンがまとめたEDVACレポート(:en:First Draft of a Report on the EDVAC)に刺激され、モーリス・ウィルクスとケンブリッジ大学の数学研究所のチームが開発した。EDSACは、世界初の実用的なプログラム内蔵方式の電子計算機であるが、プログラム内蔵方式の世界初の稼働したマシンではない。 プロジェクトは J. Lyons & Co.

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階数

記載なし。

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解析接続

解析学において、解析接続 (かいせきせつぞく、analytic continuation, analytic prolongation) とはリーマン球面 C 上の領域で定義された有理型関数に対して定義域の拡張を行う手法の一つ、あるいは、その拡張によって得られた関数の事である。.

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谷山–志村予想

谷山・志村予想(たにやましむらよそう、Taniyama–Shimura conjecture)は、「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーであろう」という数学の予想。 証明されて定理となったので、モジュラー性定理またはモジュラリティ定理 (modularity theorem) と呼ばれることもある。(本記事では、この三つの用語を区別することなく使用する) アンドリュー・ワイルズ (Andrew Wiles) は、半安定楕円曲線の谷山・志村予想を証明し、それによってフェルマーの最終定理を証明した。後に、(Christophe Breuil)、(Brian Conrad)、(Fred Diamond)、リチャード・テイラー(Richard Taylor)は、ワイルズのテクニックを拡張し、2001年にモジュラリティ定理を完全に証明した。 モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)によるより一般的な予想の特別な場合である。ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現(automorphic representation)(適切なモジュラ形式の一般化)を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論的代数幾何学の対象へ関連付けようとする。拡張された予想のうち、ほとんどのケースは未だ証明されていない。しかし、が実二次体上定義された楕円曲線がモジュラーであることを証明した。.

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集合

数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系(「相互に連立する」方程式の集合)、集合族(「一定の規則に基づく」集合の集合)、加法族(「加法的な性質を持つ」集合族)など。.

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逆数

逆数(ぎゃくすう、reciprocal)とは、ある数に掛け算した結果が となる数である。すなわち、数 の逆数 とは次のような関係を満たす。 通常、 の逆数は分数の記法を用いて のように表されるか、冪の記法を用いて のように表される。 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元(じょうほうぎゃくげん、multiplicative inverse)の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。 上述の式から明らかなように、 と の役割を入れ替えれば、 は の逆数であると言える。従って、 の逆数が であるとき の逆数は である。 が である場合、任意の数との積は になるため、(0 ≠ 1 であれば) に対する逆数は存在しない。 また、任意の について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は 以外には存在しない。 を除く任意の数 について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。 逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。 1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの(代数的構造)はと呼ばれる。.

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虚数乗法

虚数乗法(complex multiplication)とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、(period lattice)がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。 特殊関数の理論として、そのような楕円函数や多変数複素解析函数のアーベル函数は、大きな対称性をもつことからその関数が多くの等式をみたすことがいえる。特別な点では具体的に計算可能な特殊値を持つ。また虚数乗法は代数的整数論の中心的なテーマであり、円分体の理論をより広く拡張する事を可能にする。 虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルト(David Hilbert)は、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている。.

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L-函数

数学で、L-函数(L-function)は複素平面上の有理型函数であり、いくつかの数学的対象のカテゴリから出てくる有理型函数に付帯している。L-級数(L-series)は、ディリクレ級数であり、大抵は半平面上で収束し、解析接続を通してL-函数を導くとみられる。 L-函数の理論は、非常に重要であり、未だ予想の段階のものも多く、現代の解析的整数論の分野である。そこでは、リーマンゼータ函数や、ディリクレ指標におけるL-級数の、広い一般化が構成されており、それらの一般的性質は、大半の場合が証明されていなく、系統的な方法なく研究されている。.

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楕円曲線

数学における楕円曲線(だえんきょくせん、elliptic curve)とは種数 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 を持つ種数 の代数曲線を言う。 楕円曲線上の点に対し、積に関して、先述の点 を単位元とする(必ず可換な)群をなすように、積を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。 楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる。より正確には、射影平面上、楕円曲線はヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形 により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である(有理変換によってそのような曲線に変換される)。そしてこの形にあらわされているとき、 は実は射影平面の「無限遠点」である。 また、の標数が でも でもないとき、楕円曲線は、アフィン平面上次の形の式により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である。 非特異であるとは、グラフが尖点を持ったり、自分自身と交叉したりはしないということである。この形の方程式もヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形という。係数体の標数が や のとき、上の式は全ての非特異を表せるほど一般ではない(詳細な定義は以下を参照)。 が重根を持たない三次多項式として、 とすると、種数 の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。が次数 でとすると、これも種数 の平面曲線となるが、しかし、単位元を自然に選び出すことができない。さらに一般的には、単位元として働く有理点を少なくとも一つ持つような種数 の代数曲線を楕円曲線と呼ぶ。例えば、三次元射影空間へ埋め込まれた二つの二次曲面の交叉は楕円曲線である。 楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線はトーラスのへの埋め込みに対応することを示すことができる。トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。 楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。例えば、アンドリュー・ワイルズにより(リチャード・テイラーの支援を得て)証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている(モジュラー性定理とフェルマーの最終定理への応用を参照)。また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。 楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。「楕円」ということばの由来については楕円積分、楕円関数を参照。 このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。.

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標準的高さ

数論では、ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)(もしくは、標準的高さ (canonical height) ともいう)は、大域体上に定義されたアーベル多様体の有理点の上の二次形式である。この命名は、(André Néron)とジョン・テイト(John Tate)にちなんでいる。.

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有理点

数論において有理点(ゆうりてん、rational point)とは、各座標の値が全て有理数であるような空間の点を言う。 例えば、点 (3, −67/4) は 3 も −67/4 も有理数であるため、2次元空間内の有理点である。有理点の特別な場合は、(integer point)、つまり、その座標が全て整数の点である。例えば、(1, −5, 0) は 3次元空間内の整数点である。より一般的に K を任意の体とするとき、K-有理点は点の各々の座標が体 K に属するような点と定義される。K-有理点に対応する特別な場合は K-整数点、すなわち各座標が(数体) K 内の代数的整数の環の元である場合である。.

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懸賞金

懸賞金(けんしょうきん)、賞金(しょうきん).

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数学

数学(すうがく、μαθηματικά, mathematica, math)は、量(数)、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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数論

数論(すうろん、number theory)とは数、特に整数およびそれから派生する数の体系(代数体、局所体など)の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。;初等整数論;代数的整数論;解析的整数論;数論幾何学 フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。 ガウスは次のような言葉を残している。.

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