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ダランベール演算子

索引 ダランベール演算子

ダランベール演算子 (ダランベールえんざんし、d'Alembert operator) とは、物理学の特殊相対性理論、電磁気学、波動論で用いられる演算子(作用素)であり、ラプラス演算子をミンコフスキー空間に適用したものである。ダランベール作用素、ダランベルシアン (d'Alembertian) あるいは wave operator(波動演算子)と呼ばれることもあり、一般に四角い箱のような記号 で表される。この名称はフランスの数学者・物理学者ジャン・ル・ロン・ダランベール (Jean Le Rond d'Alembert) の名に由来する。.

31 関係: 場の量子論変位作用素ナブラミンコフスキー空間ラプラス作用素ローレンツ変換ディラックのデルタ関数ベクトルポテンシャルアトラス (多様体)アインシュタインの縮約記法クライン–ゴルドン方程式グリーン関数ジャン・ル・ロン・ダランベール内積共変微分光速符号数総和物理学特殊相対性理論自然単位系電磁場電磁気学JIS X 0213Unicode波動波動方程式演算子文字参照慣性系

場の量子論

場の量子論(ばのりょうしろん、英:Quantum Field Theory)は、量子化された場(素粒子物理ではこれが素粒子そのものに対応する)の性質を扱う理論である。.

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変位

変位(へんい、displacement)とは、物体の位置の変化のこと。変位の対象は、古典力学での質点の位置であったり、結晶(固体、あるいは結晶表面やそれに吸着した原子、分子など)での原子の位置(原子変位)であったりする。表記は、変位の大きさに着目する x, d のような場合や、変化した前後の位置の差であるという点に注目する Δr という場合がある。物理量としての変位はベクトルで使うことが多く、変位ベクトルと呼ばれる。 物体の位置を表現するには原点からの位置ベクトルを使う方法もある。どこかに基準点を定めるということでは変位もあまり違わないが、局所的な現象をあらわすときには基準位置とそこからの変位で記述したほうが簡単になることもある。変位x と位置ベクトルr は次の式で変換できる。 ここでr0 は基準点の位置ベクトルである。.

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作用素

数学における作用素(さようそ、operator)は、しばしば写像、函数、変換などの同義語として用いられる。函数解析学においては主にヒルベルト空間やバナッハ空間上の(必ずしも写像でない部分写像の意味での)線型変換を単に作用素と呼ぶ。そのような空間として特に函数空間と呼ばれる函数の成す無限次元線型空間は典型的であり(同じものを物理学の分野、特に量子力学などでは演算子(えんざんし)と呼ぶ)、このとき、作用素を関数を別の関数にうつす写像として理解することができる。数(定数関数)の集合に値をとる作用素は汎函数(はんかんすう、functional)と呼ばれる。 また、群や環が空間に作用しているとき、群や環の各元が定める空間上の変換、あるいはその変換が引き起こす関数空間上の変換のことを作用素ということがある。.

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ナブラ

ベクトル解析における演算子 ∇(ナブラ、nabla, del)は、ベクトル微分演算を表し、特に一次元の領域で定義された函数に施すとき、微分積分学で定義される通常の微分 D.

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ミンコフスキー空間

ミンコフスキー空間(ミンコフスキーくうかん、Minkowski space)とは、非退化で対称な双線型形式を持つ実ベクトル空間である。ドイツの数学者のヘルマン・ミンコフスキーに因んで名付けられている。アルベルト・アインシュタインによる特殊相対性理論を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では空間に時間を組み合わせた時空を表現するため、物理学の文脈ではミンコフスキー時空とも呼ばれる。.

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ラプラス作用素

数学におけるラプラス作用素(ラプラスさようそ、Laplace operator)あるいはラプラシアン(Laplacian)は、ユークリッド空間上の函数の勾配の発散として与えられる微分作用素である。記号では,, あるいは で表されるのが普通である。函数 の点 におけるラプラシアン は(次元に依存する定数の違いを除いて)点 を中心とする球面を半径が増大するように動かすときの から得られる平均値になっている。直交座標系においては、ラプラシアンは各独立変数に関する函数の二階(非混合)偏導函数の和として与えられ、またほかに円筒座標系や球座標系などの座興系においても有用な表示を持つ。 ラプラス作用素の名称は、天体力学の研究に同作用素を最初に用いたフランス人数学者のピエール=シモン・ド・ラプラス (1749–1827) に因んでいる。同作用素は与えられた重力ポテンシャルに適用すると質量密度の定数倍を与える。現在ではラプラス方程式と呼ばれる方程式 の解は調和函数と呼ばれ、自由空間において可能な重力場を表現するものである。 微分方程式においてラプラス作用素は電気ポテンシャル、重力ポテンシャル、熱や流体の拡散方程式、波の伝搬、量子力学といった、多くの物理現象を記述するのに現れる。ラプラシアンは、函数の勾配フローの流束密度を表す。.

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ローレンツ変換

ーレンツ変換(ローレンツへんかん、Lorentz transformation)は、2 つの慣性系の間の座標(時間座標と空間座標)を結びつける線形変換で、電磁気学と古典力学間の矛盾を回避するために、アイルランドのジョセフ・ラーモア(1897年)とオランダのヘンドリック・ローレンツ(1899年、1904年)により提案された。 アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論(1905年)を構築したときには、慣性系間に許される変換公式として、理論の基礎を形成した。特殊相対性理論では全ての慣性系は同等なので、物理法則はローレンツ変換に対して不変な形、すなわち同じ変換性をもつ量の間のテンソル方程式として与えられなければならない。このことをローレンツ不変性(共変性)をもつという。 幾何学的には、ミンコフスキー空間における 2 点間の世界間隔を不変に保つような、原点を中心にした回転変換を表す(ミンコフスキー空間でみたローレンツ変換節参照)。.

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ディラックのデルタ関数

right 数学におけるディラックのデルタ関数(デルタかんすう、delta function)、制御工学におけるインパルス関数 (インパルスかんすう、impulse function) とは、任意の実連続関数 に対し、 を満たす実数値シュワルツ超関数 のことである。これはクロネッカーのデルタ の自然な拡張になっている。 ディラックのデルタ関数は、デルタ超関数 (delta distribution) あるいは単にディラックデルタ (Dirac's delta) とも呼ばれる。これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックに因み、この名称が付いている。デルタ関数は古典的な意味での関数ではないシュワルツ超関数 の最初の例になっている。 ディラックのデルタの「関数」としての性質は、形式的に次のように述べることができる。まず、 として実直線上常に一定の値 をとる関数をとり、デルタ関数をデルタ関数自身と との積であると見ることにより である。一方、積分値が の での値にしかよらないことから でなければならないが、その上で積分値が でない有限の値をとるためには が満たされなければならない。.

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ベクトルポテンシャル

数学のうちベクトル解析において、3次元ベクトル場A が、3次元ベクトル場v のベクトルポテンシャル(vector potential)であると は、 であることを意味する。3次元以外のベクトル場については、微分形式を用いた拡張(例えば、ポアンカレの補題)が考えられる。.

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アトラス (多様体)

数学の特に微分位相幾何学におけるアトラス (atlas; 地図帳) あるいは座標近傍系(ざひょうきんぼうけい、co­ordinate neighbourhood system)は多様体を記述するために必要である。アトラスはチャート (chart; 地図) あるいは座標近傍 (co­ordinate neighbourhood) と呼ばれる元の族であり、各チャートは簡単に言えば多様体の各点の周りの適当な領域に座標を入れて考えられるようにするものである。例えば地表を多様体と見なせば、アトラスとその各チャートは日常的な意味で言う地図帳と各地図と考えられる。一般には、アトラスは多様体の厳密な定義の一部として含まれ、あるいは多様体と関連深いベクトル束などのファイバー束においても同様である。.

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アインシュタインの縮約記法

アインシュタインの縮約記法(アインシュタインのしゅくやくきほう、Einstein summation convention)またはアインシュタインの記法(アインシュタインのきほう、Einstein notation)は、アインシュタインが 1916 年に用いた添字 の和の記法である 。アインシュタインの規約(アインシュタインのきやく、Einstein convention)とも呼ばれる。 同じ項で添字が重なる場合は、その添字について和を取る、というルールである。この重なる指標を擬標(またはダミーの添字、)、重ならない指標を自由標(またはフリーの添字、)と呼ぶ。 このルールは一般相対性理論、量子力学、連続体力学、有限要素法などで重宝する。 アインシュタインはこの記法を自分の「数学における最大の発見」と(冗談めかして)言ったという。.

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クライン–ゴルドン方程式

ライン–ゴルドン方程式 (クライン–ゴルドンほうていしき、Klein–Gordon equation) は、スピン0の相対論的な自由粒子を表す場(クライン–ゴルドン場)が満たす方程式である。スウェーデン人物理学者オスカル・クラインとドイツ人物理学者ヴァルター・ゴルドンにちなんで名づけられた。.

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グリーン関数

リーン関数(グリーンかんすう)は.

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ジャン・ル・ロン・ダランベール

ャン・ル・ロン・ダランベール(Jean Le Rond d'Alembert、1717年11月16日 - 1783年10月29日)は、18世紀フランスの哲学者、数学者、物理学者。ドゥニ・ディドロらと並び、百科全書派知識人の中心者。.

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内積

線型代数学における内積(ないせき、inner product)は、(実または複素)ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式(実係数の場合には対称双線型形式)のことである。二つのベクトルに対してある数(スカラー)を定める演算であるためスカラー積(スカラーせき、scalar product)ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間と見做される。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。.

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共変微分

微分幾何学における共変微分(きょうへんびぶん、covariant derivative)とは、可微分多様体上の微分演算を言う。クリストッフェル並びにレヴィ=チヴィタ、リッチによって導入された。局所表示をとった場合その変換規則は共変(covariant)となる。.

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光速

光速(こうそく、speed of light)、あるいは光速度(こうそくど)とは、光が伝播する速さのことであるニュートン (2011-12)、pp. 24–25.。真空中における光速の値は (≒30万キロメートル毎秒)と定義されている。つまり、太陽から地球まで約8分20秒(8分19秒とする場合もある)、月から地球は、2秒もかからない。俗に「1秒間に地球を7回半回ることができる速さ」とも表現される。 光速は宇宙における最大速度であり、物理学において時間と空間の基準となる特別な意味を持つ値でもある。 現代の国際単位系では長さの単位メートルは光速と秒により定義されている。光速度は電磁波の伝播速度でもあり、マクスウェルの方程式で媒質を真空にすると光速が一定となるということが相対性理論の根本原理になっている。 重力作用も光速で伝播することが相対性理論で予言され、2002年に観測により確認された。.

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符号数

数学、とくに線型代数学における符号数(ふごうすう、signature)は固有値の符号(正・負・零)を重複度を込めて数えたものである。.

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総和

数学において、総和(そうわ、summation)とは与えられた数を総じて加えることである。.

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物理学

物理学(ぶつりがく, )は、自然科学の一分野である。自然界に見られる現象には、人間の恣意的な解釈に依らない普遍的な法則があると考え、自然界の現象とその性質を、物質とその間に働く相互作用によって理解すること(力学的理解)、および物質をより基本的な要素に還元して理解すること(原子論的理解)を目的とする。化学、生物学、地学などほかの自然科学に比べ数学との親和性が非常に強い。 古代ギリシアの自然学 にその源があり, という言葉も、元々は自然についての一般的な知識の追求を意味しており、天体現象から生物現象までを含む幅広い概念だった。現在の物理現象のみを追求する として自然哲学から独立した意味を持つようになったのは19世紀からである。 物理学の古典的な研究分野は、物体の運動、光と色彩、音響、電気と磁気、熱、波動、天体の諸現象(物理現象)である。.

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特殊相対性理論

特殊相対性理論(とくしゅそうたいせいりろん、Spezielle Relativitätstheorie、Special relativity)とは、慣性運動する観測者が電磁気学的現象および力学的現象をどのように観測するかを記述する、物理学上の理論である。アルベルト・アインシュタインが1905年に発表した論文に端を発する。特殊相対論と呼ばれる事もある。.

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自然単位系

自然単位系(しぜんたんいけい)とは、普遍的な物理定数のみに基づいて定義される単位系である。自然単位系では、特定の物理定数を1とおき、その物理定数を基本単位として他の単位を組み立て、単位系が構築されている。どの物理定数を選択するかによって各種の自然単位系が存在する。代表的なものがマックス・プランクによって提唱されたプランク単位系で、。.

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電磁場

電磁場(でんじば,, EMF)、あるいは電磁界(でんじかい)は、電場(電界)と磁場(磁界)の総称。 電場と磁場は時間的に変化する場合には、互いに誘起しあいながらさらにまた変化していくので、まとめて呼ばれる。 電磁場の変動が波動として空間中を伝播するとき、これを電磁波という。 電場、磁場が時間的に一定で 0 でない場合は、それぞれは分離され静電場、静磁場として別々に扱われる。 電磁場という用語を単なる概念として用いる場合と、物理量として用いる場合がある。 概念として用いる場合は電場の強度と電束密度、あるいは磁場の強度と磁束密度を明確に区別せずに用いるが、物理量として用いる場合は電場の強度と磁束密度の組であることが多い。 また、これらの物理量は電磁ポテンシャルによっても記述され、ラグランジュ形式などで扱う場合は電磁ポテンシャルが基本的な物理量として扱われる。このような場合には電磁ポテンシャルを指して電磁場という事もある。 電磁場のふるまいは、マクスウェルの方程式、あるいは量子電磁力学(QED)によって記述される。マクスウェルの方程式を解いて、電磁場のふるまいについて解析することを電磁場解析と言う。.

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電磁気学

電磁気学(でんじきがく、)は、物理学の分野の1つであり、電気と磁気に関する現象を扱う学問である。工学分野では、電気磁気学と呼ばれることもある。.

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JIS X 0213

JIS X 0213(ジス X 0213)はJIS X 0208:1997を拡張した、日本語用の符号化文字集合を規定する日本工業規格 (JIS) である。規格名称は「7ビット及び8ビットの2バイト情報交換用符号化拡張漢字集合」である。 2000年に制定、2004年、2012年に改正された。2000年に制定されたJIS X 0213:2000は通称「JIS2000」と呼ばれている。2004年に改正されたJIS X 0213:2004は通称「JIS2004」と呼ばれている。 JIS X 0208を拡張した規格で、JIS X 0208が規定する6879字の図形文字の集合に対して、日本語の文字コードで運用する必要性の高い4354字が追加され、計1万1233字の図形文字を規定する。JIS X 0208を拡張する点においてJIS X 0212:1990と同目的であるが、JIS X 0212とJIS X 0213との間に互換性はない。JIS X 0212がJIS X 0208にない文字を集めた文字集合であるのに対し、JIS X 0213はJIS X 0208を包含し更に第三・第四水準漢字などを加えた上位集合である。.

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Unicode

200px Unicode(ユニコード)は、符号化文字集合や文字符号化方式などを定めた、文字コードの業界規格である。文字集合(文字セット)が単一の大規模文字セットであること(「Uni」という名はそれに由来する)などが特徴である。 1980年代に、Starワークステーションの日本語化 (J-Star) などを行ったゼロックス社が提唱し、マイクロソフト、アップル、IBM、サン・マイクロシステムズ、ヒューレット・パッカード、ジャストシステムなどが参加するユニコードコンソーシアムにより作られた。1993年に、国際標準との一致が図られ、DIS 10646の当初案から大幅に変更されて、Unicodeと概ね相違点のいくつかはDIS 10646に由来する互換のISO/IEC 10646が制定された。.

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波動

波動(はどう、英語:wave)とは、単に波とも呼ばれ、同じようなパターンが空間を伝播する現象のことである。 海や湖などの水面に生じる波動に関しては波を参照のこと。 量子力学では、物質(粒子)も波動的な性質を持つとされている。.

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波動方程式

波動方程式(はどうほうていしき、wave equation)とは、 で表される定数係数二階線型偏微分方程式の事を言う。 は波動の位相速度 (phase velocity) を表す係数である。波動方程式は振動、音、光、電磁波など振動・波動現象を記述するにあたって基本となる方程式である。.

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演算子

演算子(えんざんし、operator symbol, operator name)は、数式やコンピュータプログラミング言語などで、各種の演算を表わす記号・シンボルである。普通は、演算子は単なる記号ないし記号列であって構文論的なものであり、それに対応する演算は意味論の側にある。たとえばJavaにおいて、演算子 + を使った a + b という式は、構文論上は単にそういう式だというだけである。意味論的には数値の加算であったり、文字列の連結であったりするが、それは a と b の型に依って決まる(理論的には項書き換えのように、構文論的に意味論も与えられた演算子といったものもある)。 演算が作用する対象のことを被演算子(operand; オペランド、被演算数、引数)という。たとえば、n と 3 との和を表す式 "n + 3" において、"+" は演算子であり、その被演算子は "n" と "3" である。また、数式として一般的な被演算子と被演算子の間に演算子を記述する構文は中置記法と呼ばれる。 数学的には、基本的には、関数(単項演算子では1引数の関数、2項演算子は2引数の関数)をあらわすある種の糖衣構文のようなものに過ぎない。しかし、汎函数計算など、演算子を操作するような手法もある。.

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文字参照

文字参照(もじさんしょう、character reference)とはHTMLなどのSGML文書においては、直接記述できない文字や記号(マークアップで使われる、半角の不等号「<」や「>」など)を表記する際に用いられる方法である。SGML構成素のひとつとして定義されており、文書文字集合中の文字を参照する為の手段を提供する。HTMLにおける文字参照には、表記方法により数値文字参照と文字実体参照の二種が存在する。XMLにおいては、HTMLにおける「数値文字参照」を「文字参照」と呼ぶ。なおHTMLにおける「文字実体参照」は、XMLでは実体参照と呼び区別する。.

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慣性系

慣性系(かんせいけい、ガリレイ系とも、inertial frame of reference)は、慣性の法則(運動の第1法則)が成立する座標系である。 例えば、等速運動する座標系では、物体は外力を受けない限り等速直線運動を行うので、慣性系の1つである。 次に減速している車での座標系では、物体は外力を受けていないのに、前向きに運動を行う。よって慣性の法則が成立しないので、減速している車の座標系は慣性系ではない。.

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